Koje matematičke prakse zasnovane na dokazima mogu primijeniti nastavnici?
Stranica 5: Vizualni prikazi
Još jedna strategija zasnovana na dokazima koja pomaže učenicima da nauče apstraktne matematičke koncepte i riješe probleme je korištenje vizuelne reprezentacijeViše od obične slike ili detaljne ilustracije, vizualni prikaz – često nazivan shematski prikaz or shematski dijagram—je tačan prikaz matematičkih veličina i odnosa datog problema. Svrha ovog vizuelnog prikaza je da odrazi učenikovo razumijevanje problema i da mu pomogne da ga ispravno riješi. Na primjer, na fotografiji desno, učenik koristi vizuelni prikaz - ovdje, tortni grafikon - da bi naučio o ekvivalentnim razlomcima.. Uprkos činjenici da nastavnici primjenjuju ovu strategiju u nižim razredima kako bi pomogli učenicima da nauče osnovne matematičke činjenice, učenici s teškoćama u učenju matematike često ne nastavljaju samostalno koristiti ovu strategiju za rješavanje problema.
Emisije istraživanja
- Učenici koji koriste tačne vizuelne reprezentacije imaju šest puta veću vjerovatnoću da tačno riješe matematičke probleme u odnosu na učenike koji ih ne koriste. Međutim, učenici koji koriste netačne vizuelne reprezentacije imaju manju vjerovatnoću da tačno riješe matematičke probleme u odnosu na one koji uopšte ne koriste vizuelne reprezentacije.
(Boonen, van Wesel, Jolles i van der Schoot, 2014.) - Učenici s teškoćama u učenju (PU) često ne stvaraju tačne vizualne reprezentacije niti ih koriste strateški za rješavanje problema. Podučavanje učenika da sistematski koriste vizualne reprezentacije za rješavanje tekstualnih zadataka dovelo je do značajnog poboljšanja u matematičkim postignućima kod učenika s teškoćama u učenju.
(van Garderen, Scheuermann, & Jackson, 2012; van Garderen, Scheuermann, & Poch, 2014) - Učenici koji koriste vizualne reprezentacije za rješavanje tekstualnih zadataka imaju veću vjerovatnoću da će zadatke riješiti tačno. To je podjednako važilo za učenike koji su imali LD, koji su postigli niske ili prosječne rezultate.
(Krawec, 2014)
Vizualni prikazi su fleksibilni; mogu se koristiti u svim razredima i vrstama matematičkih problema. Nastavnici ih mogu koristiti za podučavanje matematičkih činjenica, a učenici za učenje matematičkog gradiva. Vizualni prikazi mogu imati različite oblike. Kliknite na linkove ispod da biste vidjeli neke od vizualnih prikaza koje najčešće koriste nastavnici i učenici.
Kako se ova praksa usklađuje?
Praksa visokog utjecaja (HLP)
- HLP15Obezbijediti potporne skele
CCSSM: Standardi za matematičku praksu
- MP1Shvatiti probleme i istrajati u njihovom rješavanju.
definicijaPrava linija koja prikazuje redoslijed i odnos između brojeva.
Uobičajena upotrebasabiranje, oduzimanje, brojanje
definicijaTraka podijeljena na pravokutnike koji precizno predstavljaju količine navedene u problemu.
Uobičajena upotrebasabiranje, razlomci, proporcije, omjeri
definicijaJednostavni crteži betona ili stvarnih predmeta (npr. klikera, kamiona).
Uobičajena upotrebabrojanje, sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje
definicijaCrteži: Crteži koji prikazuju informacije pomoću linija, oblika i boja.
Uobičajena upotreba: upoređivanje brojeva, statistika, omjeri, algebra
definicijaVizualni materijal koji pomaže učenicima u pamćenju i organiziranju informacija, kao i prikazivanje odnosa između ideja (npr. mreže riječi, tabele, Vennovi dijagrami).
Uobičajena upotrebaalgebra, geometrija
| Triangles | ||
|---|---|---|
| jednakostraničan | - sve stranice su iste dužine – svi uglovi 60° |
 |
| jednakokraki | - dvije stranice su iste dužine - dva ugla su ista |
 |
| scalene | - nijedna stranica nije iste dužine - nijedan ugao nije isti |
 |
| u pravu | – jedan ugao je 90° (prav ugao) - suprotna strana pravog ugla je najduža strana (hipotenuza) |
 |
| tupi | – jedan ugao je veći od 90° |  |
| akutni | – svi uglovi su manji od 90° |  |
Međutim, prije nego što mogu rješavati probleme, učenici prvo moraju znati koju vrstu vizualne reprezentacije kreirati i koristiti za dati matematički problem. Neki učenici - posebno učenici s visokim postignućima, nadareni učenici - to rade automatski, dok druge treba eksplicitno naučiti kako. Ovo je posebno slučaj s učenicima koji se bore s matematikom i onima s teškoćama u učenju matematike. Bez eksplicitnih, sistematskih uputa o tome kako kreirati i koristiti vizualne reprezentacije, ovi učenici često stvaraju vizualne reprezentacije koje su neorganizirane ili sadrže netačne ili djelomične informacije. Razmotrite primjere u nastavku.
Elementarni primjer
Gospođa Aldridge je zamolila svoje učenike prvog razreda da saberu 2 + 4 crtanjem tačaka.
Talija crta sljedeće:
Colby crta sljedeće: 
Primijetite da Talia dobija tačan odgovor. Međutim, budući da Colby crta tačke nasumično, ne uspijeva ih sve prebrojati i posljedično dolazi do pogrešnog rješenja.
Primjer iz srednje škole
G. Huang traži od svojih učenika da riješe sljedeći tekstualni zadatak:
Jarbol za zastavu treba zamijeniti. Škola bi ga željela zamijeniti jarbolom iste veličine. Kada Juan stoji 11 metra od podnožja jarbola, ugao elevacije od Juanovih stopala do vrha jarbola je 70 stepeni. Kolika je visina jarbola?
Uporedite crteže ispod koje su napravili Brody i Zoe kako bi predstavili ovaj problem. Primijetite da je Brody nacrtao tačan prikaz i primijenio ispravnu strategiju. Nasuprot tome, Zoe je nacrtala sliku s djelimično tačnim informacijama. Broj 11 je na ispravnom mjestu, ali 70° nije. Kao rezultat netačnog prikaza, Zoe nije u mogućnosti da krene dalje i riješi problem. Međutim, ako neko drugi napravi tačan prikaz, veća je vjerovatnoća da će Zoe ispravno riješiti problem.
Brody
Zoe
Manipulative
Neki učenici neće moći savladati matematičke vještine i koncepte koristeći samo vrste vizualnih reprezentacija navedenih u gornjoj tabeli. Vrlo mala djeca i učenici koji imaju poteškoća s matematikom često trebaju različite vrste vizualnih reprezentacija poznatih kao manipulativi. Ovi konkretni, praktični materijali i predmeti - na primjer, abakus ili kovanice - pomažu učenicima da predstave matematičku ideju koju pokušavaju naučiti ili problem koji pokušavaju riješiti. Manipulativi mogu pomoći učenicima da razviju konceptualno razumijevanje matematičkih tema. (Za potrebe ovog modula, termin betonski predmeti odnosi se na manipulatore i termin vizuelne reprezentacije odnosi se na shematske dijagrame.)
Važno je da nastavnik eksplicitno navede vezu između konkretnog objekta i apstraktnog koncepta koji se podučava. Cilj je da učenik na kraju shvati koncepte i postupke bez upotrebe manipulativnih sredstava. Učenicima srednjih škola koji imaju poteškoća s matematikom, nastavnici bi trebali pokazati apstrakt zajedno s konkretnim ili vizualnim prikazom i eksplicitno ih povezati.
Prelazak sa konkretnih objekata ili vizuelnih reprezentacija na korištenje apstraktnih jednačina može biti težak za neke učenike. Jedna strategija koju nastavnici mogu koristiti kako bi pomogli učenicima da sistematski prelaze između konkretnih objekata, vizuelnih reprezentacija i apstraktnih jednačina je okvir Konkretno-Reprezentativno-Apstraktno (CRA).
Konkretno-reprezentativno-apstraktni okvir
Okvir Konkretno-Reprezentativno-Apstraktno (CRA) pomaže učenicima da steknu konceptualno razumijevanje matematičkog procesa, umjesto da samo dovrše algoritam (npr. 2 + 4, 2x + y = 27). Sistematsko povezivanje konkretnih objekata ili vizualnih reprezentacija s apstraktnom jednačinom je način da se ojača razumijevanje učenika. Komponente okvira su:
- beton —Učenici međusobno djeluju i manipuliraju trodimenzionalnim objektima, na primjer algebarskim pločicama ili drugim algebarskim manipulatorima s reprezentacijama varijabli i jedinica.
- Reprezentativno — Učenici koriste dvodimenzionalne crteže za predstavljanje problema. Ove slike im može predstaviti nastavnik ili se mogu prikazati putem nastavnog plana i programa koji se koristi u razredu, ili učenici mogu nacrtati vlastiti prikaz problema.
- sažetak — Učenici rješavaju probleme s brojevima, simbolima i riječima bez ikakve konkretne ili reprezentativne pomoći.
CRA je učinkovita u svim uzrastima i može pomoći učenicima u učenju koncepata, postupaka i primjena. Prilikom implementacije svake komponente, nastavnici trebaju koristiti eksplicitne, sistematske upute i kontinuirano pratiti rad učenika kako bi procijenili njihovo razumijevanje, postavljajući im pitanja o njihovom razmišljanju i pružajući pojašnjenja po potrebi. Konkretne i reprezentativne aktivnosti moraju odražavati stvarni proces rješavanja problema kako bi učenici mogli generalizirati proces za rješavanje apstraktne jednačine. Ilustracija ispod ističe svaku od ovih komponenti.
Za tvoju informaciju
Jedna obećavajuća praksa za brzo prevođenje učenika srednjih škola s matematičkim poteškoćama ili invaliditetom od korištenja manipulativnih i vizualnih reprezentacija do apstraktnih jednačina je Strategija CRA-IU ovoj modificiranoj verziji CRA, nastavnik istovremeno prezentira sadržaj koristeći konkretne objekte, vizualne prikaze konkretnih objekata i apstraktnu jednačinu. Studije su pokazale da je ovaj okvir efikasan za podučavanje algebre ovoj populaciji učenika (Strickland & Maccini, 2012; Strickland & Maccini, 2013; Strickland, 2017).
Kim Paulsen raspravlja o prednostima manipulativnih tehnika i nizu stvari koje treba imati na umu prilikom njihove upotrebe (vrijeme: 2:35).
Kim Paulsen, doktorica obrazovanja
Vanredni profesor, Specijalna edukacija
Vanderbilt University
Transkript: Kim Paulsen, doktorica obrazovanja
Manipulative su odličan način da se pomogne djeci da konceptualno razumiju. Upotreba manipulative zaista pomaže učenicima da to konceptualno vide i to im malo bolje odgovara. Međutim, neke od stvari koje moramo zapamtiti kada koristimo manipulative su da je važno dati učenicima malo slobodnog vremena kada koristite novu manipulativnu građu kako bi mogli jednostavno istraživati s njom. Moramo imati specifična pravila o tome kako koristiti manipulative, da to nisu igračke, da to zaista jesu materijali za učenje i kako ih učenici uzimaju, kako ih odlažu, pravo vrijeme za njihovu upotrebu i da se uvjerimo da nisu ometajući dok zapravo radimo prezentacijski dio časa. Jedna od važnih stvari je da ne želimo da učenici pamte algoritam ili procedure dok koriste manipulative. To je zapravo samo da im se pomogne da konceptualno razumiju. To ne znači da će djeca automatski razumjeti konceptualno ili biti u stanju da uspostave vezu između korištenja konkretnih metoda i sposobnosti rješavanja problema. Nekoj djeci je teško koristiti metode. To nije način na koji uče, pa ne želimo prisiljavati djecu da koriste metode ako im to nije korisno. Dakle, moramo imati na umu da su metode jedan od načina razmišljanja o podučavanju matematike.
Mislim da je dio razloga zašto ih neki nastavnici ne koriste taj što oduzimaju puno vremena, zahtijevaju puno organizacije, a također smatraju da se učenici previše oslanjaju na korištenje umijeća. Jedan od načina razmišljanja o korištenju umijeća je da ih koristite nekoliko lekcija kada predajete novi koncept, a zatim ih uklonite kako bi učenici mogli raditi samo računski dio. Istina je da ne možemo hodati po životu s umijećima u rukama. I mislim da je jedan od drugih razloga zašto mnoge škole ili nastavnici ne koriste umijeća taj što su vrlo skupa. Stoga je vrlo korisno ako svi nastavnici u školi mogu udružiti resurse i imati sobu za umijeća gdje nastavnici mogu provjeriti umijeća kako to ne bi bilo tako skupo. Nastavnici moraju znati kako ih koristiti, a to zahtijeva puno vježbe.
