Jaké matematické postupy založené na důkazech mohou učitelé používat?
Strana 5: Vizuální znázornění
Další strategií založenou na důkazech, která pomáhá studentům učit se abstraktní matematické pojmy a řešit problémy, je použití vizuální reprezentaceVíce než jen obrázek nebo detailní ilustrace, vizuální znázornění – často označované jako schematické znázornění or schematický diagram –je přesné znázornění matematických veličin a vztahů daného problému. Účelem této vizuální ukázky je odrážet studentovo chápání problému a pomoci mu jej správně vyřešit. Například na fotografii vpravo student používá vizuální znázornění – zde koláčový graf – k učení se o ekvivalentních zlomcích.. Přestože učitelé tuto strategii implementují v nižších ročnících, aby pomohli studentům naučit se základní matematické fakty, studenti s poruchami učení a obtížemi v matematice ji často sami k řešení problémů nepoužívají.
Výzkum ukazuje
- Studenti, kteří používají přesné vizuální reprezentace, mají šestkrát vyšší pravděpodobnost, že správně vyřeší matematické úlohy, než studenti, kteří je nepoužívají. Studenti, kteří používají nepřesné vizuální reprezentace, však mají menší pravděpodobnost, že správně vyřeší matematické úlohy, než ti, kteří vizuální reprezentace nepoužívají vůbec.
(Boonen, van Wesel, Jolles a van der Schoot, 2014) - Studenti s poruchami učení (PU) často nevytvářejí přesné vizuální reprezentace nebo je strategicky nepoužívají k řešení problémů. Výuka studentů systematicky používat vizuální reprezentace k řešení slovních úloh vedla k podstatnému zlepšení matematických výsledků u studentů s poruchami učení.
(van Garderen, Scheuermann a Jackson, 2012; van Garderen, Scheuermann a Poch, 2014) - Studenti, kteří používají vizuální reprezentace k řešení slovních úloh, s větší pravděpodobností úlohy vyřeší přesně. To platilo stejně pro studenty s poruchami výchovy, s nízkými i průměrnými výsledky.
(Krawec, 2014)
Vizuální reprezentace jsou flexibilní; lze je použít napříč ročníky a typy matematických úloh. Učitelé je mohou používat k výuce matematických faktů a studenti k učení se matematickému obsahu. Vizuální reprezentace mohou mít řadu podob. Kliknutím na níže uvedené odkazy zobrazíte některé vizuální reprezentace, které učitelé a studenti nejčastěji používají.
Jak se tato praxe shoduje?
Vysoce páková praxe (HLP)
- HLP15Zajistěte podpěry lešení
CCSSM: Standardy pro matematickou praxi
- MP1Rozumět problémům a vytrvat v jejich řešení.
DefinicePřímka, která znázorňuje pořadí čísel a vztah mezi nimi.
Běžné použitísčítání, odčítání, počítání
DefiniceSloupec rozdělený na obdélníky, které přesně znázorňují veličiny uvedené v úloze.
Běžné použitísčítání, zlomky, poměry, poměry
DefiniceJednoduché kresby betonových nebo skutečných předmětů (např. kuliček, nákladních aut).
Běžné použitípočítání, sčítání, odčítání, násobení, dělení
DefiniceKresby, které zobrazují informace pomocí čar, tvarů a barev.
Běžné použitíporovnávání čísel, statistika, poměry, algebra
DefiniceVizuální pomůcka, která pomáhá studentům zapamatovat si a organizovat informace a také znázorňuje vztahy mezi myšlenkami (např. slovní sítě, tabulky, Vennovy diagramy).
Běžné použitíalgebra, geometrie
| Trojúhelníky | ||
|---|---|---|
| rovnostranný | – všechny strany mají stejnou délku – všechny úhly 60° |
 |
| rovnoramenné | – obě strany mají stejnou délku – dva úhly jsou stejné |
 |
| scalene | – žádné strany nejsou stejně dlouhé – žádné úhly nejsou stejné |
 |
| přesně | – jeden úhel je 90° (pravý úhel) – protilehlá strana pravého úhlu je nejdelší strana (přepona) |
 |
| tupý | – jeden úhel je větší než 90° |  |
| akutní | – všechny úhly jsou menší než 90° |  |
Než však studenti začnou řešit problémy, musí nejprve vědět, jaký typ vizuální reprezentace vytvořit a použít pro daný matematický problém. Někteří studenti – konkrétně studenti s vysokými výsledky, nadaní studenti – to dělají automaticky, zatímco jiní se potřebují explicitně naučit, jak na to. To platí zejména pro studenty, kteří mají s matematikou potíže, a pro ty, kteří mají poruchu učení v matematice. Bez explicitních a systematických pokynů, jak vytvářet a používat vizuální reprezentace, tito studenti často vytvářejí vizuální reprezentace, které jsou neuspořádané nebo obsahují nesprávné či částečné informace. Vezměte si níže uvedené příklady.
Elementární příklad
Paní Aldridgeová požádala své žáky první třídy, aby sečetli 2 + 4 nakreslením teček.
Talia kreslí následující:
Colby kreslí následující: 
Všimněte si, že Talia dostane správnou odpověď. Protože však Colby kreslí tečky nahodile, všechny je nespočítá a v důsledku toho dojde ke špatnému řešení.
Příklad ze střední školy
Pan Huang požádá své studenty, aby vyřešili následující slovní úlohu:
Stožár je třeba vyměnit. Škola by ho chtěla nahradit stožárem stejné velikosti. Když Juan stojí 11 metru od paty stožáru, úhel od Juanových nohou k vrcholu stožáru je 70 stupňů. Jak vysoký je stožár?
Porovnejte níže uvedené kresby, které vytvořili Brody a Zoe k znázornění tohoto problému. Všimněte si, že Brody nakreslil přesné znázornění a použil správnou strategii. Naproti tomu Zoe nakreslila obrázek s částečně správnými informacemi. Číslo 11 je na správném místě, ale 70° nikoli. V důsledku nepřesného znázornění se Zoe nemůže posunout dál a problém vyřešit. Pokud však Zoe vytvoří přesné znázornění vytvořené někým jiným, je pravděpodobnější, že problém vyřeší správně.
Brody
Zoe
Manipulativy
Někteří studenti nebudou schopni pochopit matematické dovednosti a pojmy pouze s použitím typů vizuálních reprezentací uvedených v tabulce výše. Velmi malé děti a studenti, kteří mají s matematikou potíže, často potřebují různé typy vizuálních reprezentací, známé jako manipulativní pomůcky. Tyto konkrétní, praktické materiály a předměty – například počítadlo nebo mince – pomáhají studentům reprezentovat matematickou myšlenku, kterou se snaží naučit, nebo problém, který se snaží vyřešit. Manipulativní pomůcky mohou studentům pomoci rozvíjet koncepční chápání matematických témat. (Pro účely tohoto modulu se termín betonové předměty odkazuje na manipulátory a termín vizuální reprezentace odkazuje na schémata.)
Je důležité, aby učitel explicitně uvedl souvislost mezi konkrétním objektem a abstraktním pojmem, který je vyučován. Cílem je, aby student nakonec pochopil pojmy a postupy bez použití pomůcek. Studentům středních škol, kteří mají potíže s matematikou, by měli učitelé ukázat abstrakt spolu s konkrétním nebo vizuálním znázorněním a explicitně uvést souvislost mezi nimi.
Přechod od konkrétních objektů nebo vizuálních reprezentací k používání abstraktních rovnic může být pro některé studenty obtížný. Jednou ze strategií, kterou mohou učitelé použít k tomu, aby studentům pomohli systematicky přecházet mezi konkrétními objekty, vizuálními reprezentacemi a abstraktními rovnicemi, je rámec Konkrétně-Reprezentačně-Abstraktně (CRA).
Konkrétně-reprezentačně-abstraktní rámec
Rámec Konkrétně-Reprezentačně-Abstraktní (CRA) pomáhá studentům získat koncepční pochopení matematického procesu, spíše než jen dokončit algoritmus (např. 2 + 4, 2x + y = 27). Systematické propojování konkrétních objektů nebo vizuálních reprezentací s abstraktní rovnicí je způsob, jak prohloubit chápání studentů. Součástí rámce jsou:
- Beton —Studenti interagují a manipulují s trojrozměrnými objekty, například s algebrickými dlaždicemi nebo jinými algebrickými manipulátory s reprezentacemi proměnných a jednotek.
- Reprezentační — Studenti používají k znázornění problémů dvourozměrné kresby. Tyto obrázky jim může předložit učitel, mohou být prezentovány prostřednictvím učiva používaného ve třídě, případně si studenti mohou nakreslit vlastní znázornění problému.
- Abstraktní — Studenti řeší problémy s čísly, symboly a slovy bez jakékoli konkrétní nebo reprezentativní pomoci.
CRA je efektivní napříč všemi věkovými kategoriemi a může studentům pomoci s učením konceptů, postupů a aplikací. Při implementaci každé složky by učitelé měli používat explicitní a systematické pokyny a průběžně sledovat práci studentů, aby posoudili jejich porozumění, klást jim otázky ohledně jejich myšlení a v případě potřeby poskytovat vysvětlení. Konkrétní a reprezentativní činnosti musí odrážet skutečný proces řešení problému, aby studenti byli schopni proces zobecnit na řešení abstraktní rovnice. Níže uvedený obrázek znázorňuje každou z těchto složek.
Pro vaši informaci
Jedním ze slibných postupů, jak rychle přesunout žáky středních škol s matematickými obtížemi nebo postižením od používání manipulativních pomůcek a vizuálních reprezentací k abstraktním rovnicím, je Strategie CRA-IV této upravené verzi CRA učitel současně prezentuje obsah pomocí konkrétních objektů, vizuálních reprezentací konkrétních objektů a abstraktní rovnice. Studie ukázaly, že tento rámec je efektivní pro výuku algebry této populaci studentů (Strickland & Maccini, 2012; Strickland & Maccini, 2013; Strickland, 2017).
Kim Paulsenová hovoří o výhodách manipulativních metod a o řadě věcí, které je třeba mít při jejich používání na paměti (čas: 2:35).
Kim Paulsen, EdD
Docent, speciální pedagogika
Vanderbilt University
Přepis: Kim Paulsen, EdD
Manipulativní pomůcky jsou skvělým způsobem, jak pomoci dětem chápat koncepty. Používání manipulativních pomůcek studentům skutečně pomáhá chápat danou problematiku konceptuálně a lépe jim to padne do oka. Mezi věci, které si však musíme při používání manipulativních pomůcek pamatovat, patří to, že je důležité dát studentům trochu volného času, když používáte novou manipulativní pomůcku, aby s ní mohli jen tak zkoumat. Potřebujeme mít specifická pravidla pro to, jak manipulativní pomůcky používat, že to nejsou hračky, že to skutečně jsou učební materiály, a jak je studenti berou do ruky, jak je ukládají, kdy je správně používat a že neruší, když skutečně provádíme prezentační část hodiny. Jednou z důležitých věcí je, že nechceme, aby si studenti při používání manipulativních pomůcek pamatovali algoritmus nebo postupy. Jde jim jen o to, aby jim to pomohlo pochopit koncepty. To neznamená, že děti automaticky pochopí konceptuálně nebo že budou schopny propojit používání konkrétních pomůcek s řešením problémů. Pro některé děti je používání pomůcek obtížné. Takto se neučí, a proto nechceme děti nutit, aby používaly pomůcky, pokud jim nejsou užitečné. Musíme si tedy pamatovat, že pomůcky jsou jedním ze způsobů, jak přemýšlet o výuce matematiky.
Myslím, že jedním z důvodů, proč je někteří učitelé nepoužívají, je to, že to zabere hodně času, hodně organizace a také mají pocit, že se studenti příliš spoléhají na používání pomůcek. Jedním ze způsobů, jak přemýšlet o používání pomůcek, je to, že je procvičíte v několika hodinách, když učíte nový koncept, a pak je odeberete, aby studenti mohli provádět pouze výpočetní část. Je pravda, že nemůžeme chodit po životě s pomůckami v rukou. A myslím si, že jedním z dalších důvodů, proč mnoho škol nebo učitelů pomůcky nepoužívají, je to, že jsou velmi drahé. A proto je velmi užitečné, když všichni učitelé ve škole mohou spojit své zdroje a mít místnost pro manipulace, kam si učitelé mohou pomůcky prohlédnout, aby to nebylo tak drahé. Učitelé musí vědět, jak je používat, a to vyžaduje hodně cviku.
