Argomento di studio

Matematica: identificare e affrontare gli errori degli studenti

Introduzione

Non è raro che gli studenti commettano errori nella risoluzione di problemi di matematica. A volte si tratta di errori di distrazione, altre volte di incomprensioni concettuali o carenze di competenze. Quando gli studenti hanno costantemente difficoltà o ottengono scarsi risultati nei compiti di matematica, gli insegnanti potrebbero prendere in considerazione l'idea di condurre un'analisi degli errori. analisi degli errori è un tipo di valutazione diagnostica che può aiutare un insegnante a determinare quali tipi di errori uno studente sta commettendo e perché. Più specificamente, è il processo di identificazione e revisione degli errori di uno studente per determinare se esiste uno schema di errore, ovvero se uno studente commette lo stesso tipo di errore in modo coerente. Se esiste uno schema, l'insegnante può identificare le idee sbagliate o le carenze di competenze di uno studente e successivamente progettare e implementare l'insegnamento per soddisfare le esigenze specifiche di quello studente.

La ricerca sull'analisi degli errori non è una novità: ricercatori di tutto il mondo conducono studi su questo argomento da decenni. L'analisi degli errori si è dimostrata un metodo efficace per identificare schemi di errori matematici per qualsiasi studente, con o senza disabilità, che abbia difficoltà in matematica.

Fasi per condurre un'analisi degli errori

Un'analisi degli errori consiste nei seguenti passaggi:

Fase 1. Raccolta dati: Chiedere allo studente di risolvere almeno 3-5 problemi dello stesso tipo (ad esempio, moltiplicazioni con più cifre).

Fase 2. Identificare i modelli di errore: Rivedere le soluzioni degli studenti, cercando schemi di errore coerenti (ad esempio, errori che comportano il raggruppamento).

Fase 3. Determinare le cause degli errori: Scopri perché lo studente commette questi errori esaminando le procedure che usa per risolvere i problemi o chiedendogli di spiegare la sua logica.

Fase 4. Utilizzare i dati per correggere gli schemi di errore: Decidere quale tipo di strategia didattica sarà più adatta ad affrontare le carenze o le incomprensioni di uno studente.

Ogni caso di studio include più fogli STAR e casi.

Informazioni sulla strategia

Raccolta dati per un'analisi degli errori si chiede a uno studente di completare un foglio di lavoro, un test o una misura di monitoraggio dei progressi contenente una serie di problemi dello stesso tipo o di spiegare il proprio pensiero e i propri processi.

Cosa dicono la ricerca e le risorse

• L'analisi degli errori è una forma di valutazione diagnostica. I dati raccolti possono aiutare gli insegnanti a comprendere perché gli studenti hanno difficoltà a progredire in determinati compiti e ad allineare l'insegnamento alle esigenze specifiche dello studente (National Center on Intensive Intervention, nd;
  Kingsdorf e Krawec, 2014; Hwang & Riccomini, 2021; Lewis, 2016; Lewis et al., 2020; Nelson e Powell, 2018).
• I dati dell'analisi degli errori possono essere raccolti utilizzando misure formali (ad esempio, test di capitolo, test standardizzati) o misure informali (ad esempio, compiti a casa, fogli di lavoro in classe, interviste) (Riccomini, 2014; Lewis, 2016; Lewis & Fisher, 2018).
• Per aiutare a determinare un modello di errore, la misura della raccolta dati deve contenere almeno tre o cinque problemi dello stesso tipo (Connessioni speciali, nd).
• I tipi di errore più comuni includono l'utilizzo di operazioni errate, errori di calcolo (ad esempio, dati di base, riclassificazione), errori procedurali (ad esempio, dimenticare di riclassificare, eseguire un'operazione errata) ed errori visuo-spaziali (ad esempio, allineamento delle colonne, pattern, lettura dei grafici). (Nelson & Powell, 2018; Lin et al., 2025; Rong & Monnen, 2022; Nelson & Powell, 2018).

Identificazione delle origini dati

Per condurre un'analisi degli errori in matematica, l'insegnante deve innanzitutto raccogliere dati. Può farlo utilizzando una serie di materiali completati dallo studente (ovvero, prodotti dello studente). Questi includono fogli di lavoro, misure di monitoraggio dei progressi, compiti, quiz e verifiche di capitolo. Possono essere utilizzati anche i compiti a casa, a condizione che l'insegnante sia sicuro che lo studente abbia completato il compito in modo indipendente. Indipendentemente dal tipo di prodotto dello studente utilizzato, dovrebbe contenere almeno da tre a cinque problemi dello stesso tipo. Ciò consente di disporre di un numero sufficiente di elementi con cui determinare i modelli di errore.

Punteggio

Per capire meglio perché gli studenti hanno difficoltà, l'insegnante dovrebbe valutare ogni cifra errata nella risposta di uno studente, invece di contrassegnare semplicemente l'intera risposta come errata. Valutare ogni cifra nella risposta consente all'insegnante di identificare più rapidamente e chiaramente l'errore dello studente e di determinare se lo studente commette costantemente questo errore in diversi problemi. Ad esempio, prenditi un momento per esaminare il foglio di lavoro qui sotto. Contrassegnando le cifre errate, l'insegnante può determinare che, sebbene lo studente sembri comprendere i concetti matematici di base, non sta riclassificando l'"1" nella colonna delle decine nei suoi problemi di addizione e moltiplicazione.

Nota: contrassegnare ogni cifra errata potrebbe non sempre rivelare il modello di errore. Rivedere i fogli STAR Identificazione di modelli di errore, problemi di testo: modelli di errore aggiuntivie Determinazione delle cause degli errori per saperne di più su come identificare i diversi tipi di errori commessi dagli studenti.

Informazioni sulla strategia

Identificazione dei modelli di errore si riferisce alla determinazione del tipo/i di errori commessi da uno studente nella risoluzione di problemi matematici. Esistono tre tipi di errori:

1. Errori fattuali: errori dovuti alla mancanza di informazioni fattuali (ad esempio, identificazione errata delle cifre, errori di conteggio)
2. Errori procedurali: errori dovuti all'esecuzione errata di passaggi in un processo matematico (ad esempio, mancato raggruppamento, errore di posizionamento decimale)
3. Errori concettuali: errori dovuti a idee sbagliate o a una comprensione errata dei principi e delle idee sottostanti connessi al problema matematico (ad esempio, incomprensione del valore posizionale, applicazione errata delle regole a nuovi problemi)

Cosa dicono la ricerca e le risorse

• Da tre a cinque errori su un particolare tipo di problema costituiscono un modello di errore (Howell, Fox e Morehead, 1993; Radatz, 1979).
• In genere, gli errori matematici degli studenti rientrano in tre grandi categorie: fattuali, procedurali e concettuali. Ognuno di questi errori è dovuto alla mancanza di conoscenze o a un'incomprensione da parte dello studente (Fisher & Frey, 2012; Riccomini, 2014; Lin et al., 2025).
• Gli errori procedurali sono il tipo di errore più comune (Riccomini, 2014; Nelson & Powell, 2018).
• Poiché la conoscenza concettuale e quella procedurale spesso si sovrappongono, è difficile distinguere gli errori concettuali da quelli procedurali (Rittle-Johnson, Siegler e Alibali, 2001; Riccomini, 2014).
• Non tutti gli errori sono dovuti a una mancanza di conoscenze o di competenze. A volte, uno studente commette un errore a causa di stanchezza o distrazione (ovvero, errori di distrazione) (Fisher & Frey, 2012).

Errori di fatto comuni

Errori di fatto Si verificano quando gli studenti non dispongono di informazioni fattuali. Consulta la tabella seguente per conoscere alcuni degli errori fattuali più comuni commessi dagli studenti.

Errore di fatto	Esempi
Non ha padroneggiato i fatti numerici di base Lo studente non conosce i fondamenti della matematica e commette errori quando addiziona, sottrae, moltiplica o divide numeri a una cifra.	3 + 2 = 7 7 − 4 = 2 2 × 3 = 7 8 ÷ 4 = 3
Identifica erroneamente i segni	2 × 3 = 5 (Lo studente identifica il segno di moltiplicazione come segno di addizione.) 8 ÷ 4 = 4 (Lo studente identifica il segno di divisione come segno meno.)
Identifica erroneamente le cifre	Lo studente identifica un 5 come un 2.
Commette errori di conteggio	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 (Lo studente salta 6.)
Non conosce i termini matematici (vocabolario)	Lo studente non comprende il significato di termini come numeratore, denominatore, massimo comune divisore, minimo comune multiplo, o circonferenza.
Non conosce le formule matematiche	Lo studente non conosce la formula per calcolare l'area di un cerchio.

Errori procedurali comuni

La conoscenza procedurale è la comprensione dei passaggi o delle procedure necessari per risolvere un problema. Errori procedurali Si verificano quando uno studente applica in modo errato una regola o un algoritmo (ovvero, la formula o la procedura passo passo per risolvere un problema). Consulta la tabella seguente per saperne di più su alcuni errori procedurali comuni.

Errore procedurale	Esempi
Errori di raggruppamento
Si dimentica di riorganizzarsi Lo studente dimentica di riorganizzare quando esegue un'addizione, una moltiplicazione o una sottrazione.	Esempio 1: Lo studente somma correttamente 7 + 4 ma non raggruppa un gruppo di 10 nella colonna delle decine. 77 + 54 121 Esempio 2: Lo studente non raggruppa un gruppo di 10 dalla colonna delle decine, ma sottrae il numero minore (3) dal numero maggiore (6) nella colonna delle unità. 123 - 76 53 Esempio 3: Dopo aver moltiplicato 2 × 6, lo studente non riesce a raggruppare un gruppo di 10 dalla colonna delle decine. 56 x 2 102
Si raggruppa attraverso uno zero Quando un problema contiene uno o più 0 nel minuendo (numero in alto), lo studente non sa cosa fare.	Lo studente sottrae lo 0 dal 2 invece di raggruppare. 304 - 21 323
Esegue l'operazione errata Sebbene siano in grado di identificare correttamente i segni (ad esempio, addizione, meno), gli studenti spesso sottraggono quando dovrebbero aggiungere, o viceversa. Tuttavia, gli studenti potrebbero anche eseguire altre operazioni errate, come moltiplicare invece di aggiungere.	Esempio 1: Lo studente aggiunge invece di sottrarre. 234 - 45 279 Esempio 2: Lo studente moltiplica invece di sommare. 3 + 2 6
Errori di frazione
Non riesce a trovare il denominatore comune quando si sommano e si sottraggono frazioni	Lo studente somma i numeratori e poi i denominatori senza trovare il denominatore comune. 3       4  + 1       3  = 4       7
Non riesce a invertire e poi moltiplicare quando si dividono le frazioni	Lo studente non inverte il 2 in 1/2 prima di moltiplicare per ottenere la risposta corretta di 1/4. 1       2   ÷   2 = 1       2   x   2       1   =   2       2   =   1
Non riesce a cambiare il denominatore nella moltiplicazione delle frazioni	Lo studente non moltiplica i denominatori per ottenere la risposta corretta. 2       8   x   5       8  = 10       8
Converte in modo errato un numero misto in una frazione impropria	Per trovare il numeratore, lo studente somma 2 + 1 + 1 per ottenere 4, invece di seguire la procedura corretta (2 × 1 + 1 = 3). 1 1       2  = 4       2
Errori decimali
Non allinea i punti decimali durante l'addizione o la sottrazione Lo studente allinea i numeri senza prestare attenzione alla posizione della virgola.	Lo studente non allinea correttamente i punti decimali. In questo caso, .4 e .2 sono nella posizione dei decimi e dovrebbero essere allineati. 120.4 + 63.21 75.25
Non posiziona il decimale nel posto appropriato quando si moltiplica o si divide Lo studente non conta e non aggiunge il numero di cifre decimali in ciascun fattore per determinare il numero di cifre decimali nel prodotto. Nota: potrebbe trattarsi anche di un errore concettuale relativo al valore posizionale.	Come per l'addizione o la sottrazione, lo studente allinea la virgola decimale del prodotto con le cifre decimali dei fattori. Non conta e somma il numero di cifre decimali in ciascun fattore per determinare il numero di cifre decimali del prodotto. 3.4 x .2 6.8

Errori concettuali comuni

La conoscenza concettuale è la comprensione delle idee e dei principi sottostanti e il riconoscimento di quando applicarli. Implica anche la comprensione delle relazioni tra idee e principi. Errori concettuali Si verificano quando uno studente ha idee sbagliate o non comprende i principi e le idee di base relativi a un dato problema matematico. Esamina la tabella seguente per saperne di più su alcuni errori concettuali comuni.

Errore concettuale	Esempi
Non comprende il valore posizionale Lo studente non capisce il valore posizionale e registra la risposta in modo che i numeri non siano nella posizione corretta del valore posizionale.	Esempio 1: Lo studente somma tutti i numeri (6 + 7 + 4 = 17), senza comprendere i valori delle colonne delle unità e delle decine. 67 + 4 17 Esempio 2: Lo studente registra la risposta con i numeri invertiti, ignorando la posizione corretta del valore posizionale dei numeri o delle cifre. 10 + 9 91 Esempio 3: Quando si esprime un numero con più di due cifre, lo studente non ha una comprensione concettuale della posizione del valore posizionale. Scrivi quanto segue come un numero: settantasei novecentosettantaquattro seimilaseicentoventiquattro Risposta dello studente: 76 90074 600060024
Generalizza eccessivamente A causa di una mancanza di comprensione concettuale, lo studente applica in modo errato le regole o le conoscenze a situazioni nuove.	Esempio 1: Indipendentemente dal fatto che il numero maggiore si trovi nel minuendo (numero in alto) o nel sottraendo (numero in basso), lo studente sottrae sempre il numero che è minore del numero maggiore, come avviene nella sottrazione a una cifra. 321 - 245 124 Esempio 2: Metti in ordine le seguenti frazioni dalla più piccola alla più grande. 77       486 1       351 12       200 Non comprendendo la relazione tra il numeratore e il suo denominatore (vale a dire, denominatori più grandi significano parti frazionarie più piccole), lo studente dispone le frazioni nel seguente ordine. 12       200 1       351 77       486
Specializzato eccessivamente A causa di una mancanza di comprensione concettuale, lo studente sviluppa una definizione eccessivamente ristretta di un dato concetto o di quando applicare una regola o un algoritmo.	Quale dei triangoli sottostanti è un triangolo rettangol? Associare un triangolo rettangolo solo a quelli con lo stesso orientamento di a, lo studente sceglie a.

Informazioni sulla strategia

A problema di parole presenta uno scenario ipotetico del mondo reale che richiede allo studente di applicare conoscenze matematiche e ragionamento per raggiungere una soluzione.

Cosa dicono la ricerca e le risorse

• Gli studenti considerano gli esercizi di calcolo più difficili quando vengono espressi come problemi verbali piuttosto che come frasi numeriche (ad esempio, 3 + 2 =) (Sherman, Richardson e Yard, 2009).
• Quando risolvono problemi di testo, gli studenti hanno maggiori difficoltà a comprendere cosa il problema richiede loro di fare. Più specificamente, potrebbero non riconoscere la tipologia di problema e quindi non sapere quale strategia utilizzare (Jitendra et al., 2007; Sherman, Richardson e Yard, 2009; Powell, 2011; Shin e Bryant, 2015; Lien et al., 2020).
• I problemi di testo richiedono diverse competenze per essere risolti (ad esempio, leggere un testo, comprenderlo, tradurlo in una frase numerica, determinare l'algoritmo corretto da utilizzare). Di conseguenza, molti studenti, soprattutto quelli con difficoltà in matematica e lettura, trovano i problemi di testo impegnativi (Powell, Fuchs, Fuchs, Cirino e Fletcher, 2009; Reys, Lindquist, Lambdin e Smith, 2015; Lien et al., 2020).
• I problemi di testo sono particolarmente difficili per gli studenti con disabilità di apprendimento (Krawec, 2014; Shin & Bryant, 2015).

Difficoltà comuni associate alla risoluzione di problemi verbali

Uno studente potrebbe risolvere i problemi di testo in modo errato a causa di errori fattuali, procedurali o concettuali. Tuttavia, uno studente potrebbe incontrare ulteriori difficoltà nel tentativo di risolvere i problemi di testo, molte delle quali sono associate a deficit nelle capacità di lettura, come quelli descritti di seguito.

Esempio

Il problema verbale a destra illustra perché gli studenti potrebbero avere difficoltà a risolvere questo tipo di problema. Oltre a risolvere questo problema verbale in modo errato a causa di errori fattuali, procedurali o concettuali, lo studente potrebbe avere difficoltà per motivi legati a deficit nelle capacità di lettura.

• Scarsa conoscenza del vocabolario: lo studente potrebbe non avere familiarità con il termine differenza.
• Capacità di lettura limitate: lo studente potrebbe avere difficoltà con la frase finale del problema a causa della sua struttura complessa. Inoltre, potrebbe non comprendere parte del vocabolario non matematico (ad esempio, ricevuto, guadagnato ) potrebbe impedire allo studente di risolvere il problema.
• Impossibilità di identificare informazioni rilevanti: lo studente potrebbe prestare attenzione a informazioni irrilevanti, come il tipo di bicicletta o il numero di mesi in cui Jonathan ha lavorato, e quindi risolvere il problema in modo errato.
• Mancanza di conoscenze pregresse: lo studente potrebbe avere una conoscenza limitata del processo di acquisto.
• Incapacità di tradurre le informazioni in un'equazione matematica: lo studente potrebbe avere difficoltà a determinare quali operazioni eseguire con quali numeri. Questa situazione potrebbe peggiorare nei casi in cui si presentano problemi con più passaggi.

Informazioni sulla strategia

Determinare la causa degli errori è il processo attraverso il quale gli insegnanti determinano perché lo studente sta commettendo un particolare tipo di errore.

Cosa dicono la ricerca e le risorse

• In genere, gli errori di uno studente non sono casuali; spesso si basano su algoritmi o procedure errati applicati sistematicamente (Cox, 1975; Ben-Zeev, 1998; Nelson & Powell, 2018).
• Per aiutare gli studenti a migliorare le loro prestazioni matematiche, gli insegnanti devono prima identificare e comprendere perché gli studenti commettono determinati errori (Radatz, 1979; Yetkin, 2003; Lin et al., 2025; Lewis, 2016).
• Sapere cosa pensa uno studente quando risolve un problema può essere una ricca fonte di informazioni su ciò che lo studente capisce e non capisce (Hunt & Little, 2014; Baldwin & Yun, 2012; Lewis & Fisher, 2018).

Strategie utili

Determinare esattamente perché uno studente commette un particolare errore è importante perché influenza la risposta didattica dell'insegnante. Sebbene a volte sia ovvio il motivo per cui uno studente commette un certo tipo di errore, altre volte determinarne la ragione risulta più difficile. In questi ultimi casi, l'insegnante può utilizzare una o più delle seguenti strategie.

Intervistare lo studente—A volte non è chiaro perché uno studente commetta un particolare tipo di errore. Ad esempio, può essere difficile per un insegnante distinguere tra errori procedurali e concettuali. Per questo motivo, può essere utile chiedere a uno studente di spiegare il processo di risoluzione del problema. Gli insegnanti possono porre domande generali come "Come hai trovato quella risposta?" o sollecitare lo studente con affermazioni come "Mostrami come hai trovato quella risposta". Un altro motivo per cui gli insegnanti potrebbero voler intervistare lo studente è per assicurarsi che abbia le competenze necessarie per risolvere il problema.

Osserva lo studente—Uno studente potrebbe anche rivelare informazioni attraverso mezzi non verbali. Questo può includere gesti, pause, segnali di frustrazione e dialogo interiore. L'insegnante può utilizzare informazioni di questo tipo per identificare in quale fase del compito di problem-solving lo studente si trova in difficoltà o frustrazione. Può anche aiutare l'insegnante a determinare quale procedura o insieme di regole uno studente sta applicando e perché.

Cercare eccezioni a un modello di errore—Oltre a cercare schemi di errore, un insegnante dovrebbe notare i casi in cui lo studente non commette lo stesso errore nello stesso tipo di problema. Anche questo può essere informativo perché potrebbe indicare che lo studente ha una comprensione parziale o basilare del concetto in questione. Ad esempio, Cammy ha completato un esercizio sulla moltiplicazione di numeri interi per frazioni. Sembrava sbagliare la maggior parte dei calcoli; tuttavia, ha risposto correttamente ai problemi in cui la frazione era 1/2. Questo sembra indicare che, sebbene Cammy comprenda concettualmente cosa sia 1/2 di un intero, molto probabilmente non conosce il procedimento per moltiplicare numeri interi per frazioni.

Considerazioni per gli studenti con disabilità di apprendimento

Circa il 5-8% degli studenti presenta disturbi dell'apprendimento in matematica. Pertanto, è importante comprendere che le loro specifiche difficoltà di apprendimento potrebbero influire sulla loro capacità di apprendere e di scegliere e applicare correttamente strategie risolutive per risolvere problemi matematici. Gli insegnanti potrebbero notare che gli studenti con disturbi dell'apprendimento:

• Hanno difficoltà a padroneggiare i fatti numerici di base
• Commettono errori di calcolo anche se hanno una solida comprensione concettuale
• Hanno difficoltà a stabilire una connessione tra oggetti concreti e rappresentazioni visive o problemi astratti
• Lotta con la terminologia matematica e il linguaggio scritto
• Hanno deficit visuo-spaziali, che comportano difficoltà nel visualizzare concetti matematici (anche se questo è piuttosto raro)

Informazioni sulla strategia

Affrontare i modelli di errore è il processo di insegnamento che si concentra sull'errore specifico di uno studente.

Cosa dicono la ricerca e le risorse

• Eseguendo un'analisi degli errori, l'insegnante può concentrarsi su specifici malintesi o passi falsi, anziché dover re-insegnare l'intera competenza o concetto (Fisher & Frey, 2012).
• Gli studenti continueranno a commettere errori procedurali se non ricevono istruzioni mirate per correggerli. Limitarsi a fornire più opportunità di esercitarsi nella risoluzione di un dato problema in genere non è efficace (Riccomini, 2014; Lewis & Fisher, 2018; Lin et al., 2025; Nelson & Powell, 2018).
• In genere, insegnare semplicemente la formula o i passaggi per risolvere un problema matematico non è sufficiente per aiutare gli studenti ad acquisire una comprensione concettuale (Sweetland & Fogarty, 2008).
• Per correggere gli errori concettuali di uno studente potrebbe essere necessario l'uso di rappresentazioni concrete o visive, nonché un intenso lavoro di re-insegnamento. Gli studenti riescono spesso a utilizzare oggetti concreti per risolvere problemi a cui inizialmente avevano risposto in modo errato (Riccomini, 2014; Yetkin, 2003; Lin et al., 2025).
• È stato dimostrato che, senza intervento, gli studenti continuano ad applicare gli stessi schemi di errore anche un anno dopo (Cox, 1975).

Come affrontare gli errori degli studenti

Dopo aver determinato il tipo di errore commesso dallo studente, l'insegnante può intervenire in uno o più dei seguenti modi.

Discuti l'errore con lo studente: Dopo aver intervistato lo studente ed esaminato i prodotti del lavoro, l'insegnante dovrebbe descrivere brevemente l'errore dello studente e spiegare che lavoreranno insieme per correggerlo.

Fornire istruzioni efficaci per correggere l'errore specifico dello studente: L'insegnante dovrebbe concentrarsi sull'errore specifico dello studente, invece di ripetere l'insegnamento generale su come risolvere questo tipo di problema. Ad esempio, se l'errore di uno studente è dovuto alla mancata riorganizzazione durante l'addizione, l'insegnante dovrebbe concentrarsi sul punto esatto del processo in cui lo studente commette l'errore. L'insegnante deve individuare l'istruzione per concentrarsi sull'errore e aiutare lo studente a capire cosa sta facendo di sbagliato. Ripetere semplicemente la lezione non garantirà che lo studente comprenda l'errore e come risolvere correttamente il problema.

Utilizzare strategie efficaci: Tenendo presente il tipo di errore, l'insegnante dovrebbe scegliere una strategia efficace che aiuti a correggere le incomprensioni o gli errori dello studente. Di seguito sono riportate due strategie efficaci che gli insegnanti potrebbero trovare utili per correggere alcuni, se non tutti, gli schemi di errore.

manipolatori

Gli oggetti manipolativi sono oggetti con cui gli studenti possono interagire per acquisire comprensione concettuale (ad esempio, comprendere processi o concetti astratti) e risolvere problemi. Gli strumenti manipolativi possono essere:

• Fisico: gli esempi includono blocchi base 10 o una geoboard (una piccola tavola con chiodi su cui gli studenti allungano elastici per esplorare una varietà di concetti geometrici di base)
• Virtuale: esempi includono dadi cliccabili su un'app o chip interi

Gli strumenti manipolativi aiutano uno studente a rappresentare il concetto matematico che sta cercando di apprendere o il problema che sta cercando di risolvere. Ad esempio, l'insegnante potrebbe dimostrare il concetto di frazioni utilizzando blocchi o strisce di frazioni. È importante che l'insegnante stabilisca esplicitamente il collegamento tra l'oggetto concreto e il concetto astratto o simbolico che viene insegnato. Dopo che uno studente ha acquisito una comprensione di base del concetto matematico, gli oggetti concreti dovrebbero essere sostituiti da rappresentazioni visive come immagini di una retta numerica o di un geotabellone. L'obiettivo è che lo studente comprenda e applichi il concetto con numeri e simboli.

È importante che l'insegnamento dell'insegnante sia in linea con le esigenze degli studenti. Gli insegnanti dovrebbero tenere presente che alcuni studenti avranno bisogno di oggetti concreti per comprendere un concetto, mentre altri saranno in grado di comprenderlo utilizzando rappresentazioni visive. Inoltre, alcuni studenti avranno bisogno del supporto di oggetti concreti più a lungo di altri.

Istruzioni esplicite

L'insegnamento esplicito è un metodo didattico strutturato in cui gli educatori forniscono innanzitutto agli studenti una motivazione e aspettative chiare per l'apprendimento di competenze o concetti. Successivamente, l'educatore fornisce modelli, strutture, opportunità di pratica guidata e indipendente, nonché di coinvolgimento, e offre feedback finché gli studenti non hanno acquisito autonomamente la competenza o il concetto.

Componenti dell'istruzione esplicita
Modeling	L'insegnante simula il pensiero ad alta voce per dimostrare il completamento di alcuni problemi di esempio. L'insegnante guida lo studente attraverso altri problemi di esempio. L'insegnante sottolinea gli aspetti difficili dei problemi.
impalcatura	L'insegnante mette in sequenza le competenze che si completano a vicenda. L'insegnante suddivide le informazioni in parti più piccole. L'insegnante fornisce degli spunti. L'insegnante pone domande personalizzate per garantire la comprensione.
Pratica guidata	Lo studente risolve i problemi con l'aiuto dell'insegnante o dei compagni. L'insegnante controlla il lavoro dello studente. L'insegnante fornisce un feedback correttivo positivo.
Pratica indipendente	Lo studente risolve i problemi in modo autonomo. L'insegnante controlla il rendimento dello studente nei lavori autonomi.
Coinvolgimento	L'insegnante offre agli studenti la possibilità di rispondere. Gli studenti interagiscono con i loro coetanei attraverso attività di gruppo.
Feedback	L'insegnante fornisce un feedback positivo e costruttivo che risulta informativo per gli studenti. L'insegnante modifica le attività in base alle risposte degli studenti. L'insegnante fornisce correzioni immediate quando possibile.

Adattato da Bender (2009), pp. 31–32

Rivalutare le competenze degli studenti: Dopo aver fornito istruzioni per correggere gli errori dello studente, l'insegnante dovrebbe condurre una valutazione formale o informale per assicurarsi che lo studente abbia acquisito l'abilità o il concetto in questione.

Suggerimenti didattici

• Verificare le competenze prerequisito: Assicuratevi che lo studente abbia le competenze prerequisito necessarie per risolvere il problema con cui ha difficoltà. Ad esempio, se lo studente commette errori nell'addizionare numeri a due cifre, l'insegnante deve assicurarsi che conosca i fondamenti matematici. Se lo studente non possiede le competenze prerequisito necessarie, l'insegnante dovrebbe iniziare l'insegnamento da quel momento.
• Esempi di modelli e non esempi: Assicuratevi di modellare il completamento di almeno tre-cinque problemi del tipo in cui lo studente ha difficoltà. Aggiungete almeno un non-esempio del modello di errore per evitare l'eccessiva generalizzazione (ovvero, l'applicazione errata della regola o delle conoscenze a situazioni nuove) e l'eccessiva specializzazione (ovvero, lo sviluppo di una definizione eccessivamente ristretta del concetto o di quando applicare una regola o una procedura). Ad esempio, nel caso di uno studente che non riorganizza durante la sottrazione, un insegnante che modelli come risolvere questo tipo di problema dovrebbe includere anche problemi che non richiedono il riorganizzazione.

  Esempi e non esempi

  I problemi 1 e 3 sono esempi che richiedono un riordino, mentre il problema 2, che non lo richiede, non è un esempio.

  

• Errore preciso: Durante la modellazione e la pratica guidata, concentratevi solo sul punto del problema in cui lo studente commette un errore. Non è necessario svolgere l'intero problema. Ad esempio, se lo schema di errore dello studente è quello di non riuscire a trovare il denominatore comune nell'addizione e nella sottrazione di frazioni, l'insegnante si limiterà a modellare il processo e a spiegare le conoscenze concettuali di base per trovare il denominatore comune. Lo studente si fermerà a quel punto, anziché completare il problema, perché conosce il processo da quel punto in poi. L'insegnante dovrebbe quindi continuare allo stesso modo per i problemi rimanenti.

  

  [Fermati a questo punto perché hai risolto il problema dell'errore; lo studente sa come sommare le frazioni]
• Offrire ampie opportunità di pratica: Come per la modellazione, fornisci almeno tre o cinque problemi per la pratica guidata, assicurandoti di includere un non esempio.
• Inizia con problemi semplici: Durante la modellazione e la pratica guidata, iniziare con problemi semplici e passare gradualmente a quelli più difficili man mano che lo studente acquisisce la comprensione dell'errore e di come risolvere correttamente il problema.
• Sposta l'errore: Quando possibile, sposta l'errore in modo che non si verifichi sempre nello stesso punto. Ad esempio, se l'errore dello studente è il raggruppamento durante la moltiplicazione, l'insegnante dovrebbe includere esempi che richiedono il raggruppamento nella colonna delle unità e delle decine, invece di richiedere sempre il raggruppamento nella colonna delle unità.

sfondo

Scenario

La signora Moreno, un'insegnante di matematica di seconda media, è preoccupata per il rendimento di Dalton. Poiché Dalton ha ottenuto buoni risultati nella sua classe fino a questo punto, ritiene che abbia solide competenze matematiche di base. Tuttavia, da quando hanno iniziato le lezioni sulla moltiplicazione dei numeri decimali, Dalton ha ottenuto scarsi risultati nei compiti scolastici indipendenti. La signora Moreno decide di condurre un'analisi degli errori sul suo ultimo compito per casa per determinare che tipo di errore sta commettendo.

Possibili strategie

• Raccolta dati
• Identificazione dei modelli di errore

Assegnazione

1. Leggi l' Introduzione.
2. Per le possibili strategie elencate sopra, leggere i Fogli STAR.
3. Assegna il punteggio al compito di Dalton in classe qui sotto. Per facilitare la valutazione, è stata fornita una chiave di soluzione.
4. Esaminare il foglio di lavoro valutato e determinare il modello di errore di Dalton.

sfondo

Scenario

Madison è una studentessa di terza elementare brillante ed energica con un disturbo specifico dell'apprendimento in matematica. La sua classe ha appena terminato un capitolo sul denaro e la sua insegnante, la Sig.ra Brooks, è rimasta soddisfatta del rendimento di Madison. La Sig.ra Brooks ritiene che il successo di Madison sia dovuto in gran parte al fatto che ha usato soldi finti per insegnare concetti relativi al denaro. Come indicato nel programma educativo individualizzato (PEI) di Madison, afferra più facilmente i concetti quando usa oggetti concreti (ad esempio, oggetti manipolativi come monete finte e banconote da un dollaro). Nel tentativo di consolidare questo successo, la Sig.ra Brooks ha nuovamente utilizzato oggetti concreti – in questo caso, orologi di cartone con lancette mobili – per insegnare il capitolo sulla lettura dell'ora. La classe è ora a metà di quel capitolo e, con grande delusione della Sig.ra Brooks, Madison sembra avere difficoltà con questo concetto. Di conseguenza, la Sig.ra Brooks decide di condurre un'analisi degli errori nell'ultimo quiz di Madison.

Possibili strategie

• Raccolta dati
• Identificazione dei modelli di errore

Assegnazione

1. Leggi l' Introduzione.
2. Per le possibili strategie elencate sopra, leggere i Fogli STAR.
3. Completa il quiz di Madison qui sotto contrassegnando ogni risposta errata.
4. Esamina il quiz valutato e determina lo schema di errore di Madison.

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Scenario

Shayla e la sua famiglia si sono appena trasferiti in un nuovo distretto scolastico. La sua classe di matematica sta attualmente imparando ad addizionare e sottrarre frazioni con denominatori diversi. L'insegnante di matematica di Shayla, il signor Holden, è preoccupato perché Shayla sta ottenendo scarsi risultati nei compiti e nei quiz. Prima di poter fornire istruzioni per correggere le carenze di competenze o le incomprensioni concettuali di Shayla, deve capire perché ha difficoltà. Per questo motivo, decide di condurre un'analisi degli errori per scoprire che tipo di errori sta commettendo.

Possibili strategie

• Raccolta dati
• Identificazione dei modelli di errore
• Problemi di testo: ulteriori modelli di errore

Assegnazione

1. Leggi l' Introduzione.
2. Per le possibili strategie elencate sopra, leggere i Fogli STAR.
3. Assegna un punteggio al compito di Shayla qui sotto, contrassegnando ogni cifra errata.
4. Esaminare il compito valutato e discutere almeno tre possibili motivi per cui Shayla commette errori.

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