Welke evidence-based wiskundepraktijken kunnen leraren gebruiken?
Pagina 6: Schema-instructie
Hoe past deze praktijk in het plaatje?
Praktijken met een hoge hefboomwerking
- HLP14: Cognitieve en metacognitieve strategieën aanleren ter ondersteuning van leren en onafhankelijkheid
CCSSM: Normen voor Wiskundige Praktijk
- MP7: Zoek naar en maak gebruik van structuur.
Een andere effectieve strategie om leerlingen te helpen hun wiskundeprestaties te verbeteren, heeft te maken met het oplossen van woordproblemen. Meer specifiek houdt dit in dat leerlingen leren hoe ze woordproblemen kunnen herkennen op basis van de onderliggende structuur van een gegeven probleem, of schemaVoordat u echter meer over deze strategie leert, is het nuttig om te begrijpen waarom veel studenten überhaupt moeite hebben met tekstproblemen.
Moeilijkheden met woordproblemen
De meeste leerlingen, vooral leerlingen met wiskundige problemen en beperkingen, hebben moeite met het oplossen van rekenproblemen. Dit komt grotendeels doordat rekenproblemen vereisen dat leerlingen:
- Lees en begrijp de tekst, inclusief wiskundige woordenschat
- In staat zijn om relevante informatie te identificeren en te scheiden van irrelevante informatie
- Geef het probleem correct weer
- Kies een geschikte strategie om het probleem op te lossen
- Voer de rekenkundige procedures uit
- Controleer het antwoord om er zeker van te zijn dat het logisch is
(Aangepast van Stevens en Powell, 2016; Jitendra, et al., 2015; Jitendra et al., 2013)
Studenten die moeite hebben met een van de hierboven genoemde stappen, bijvoorbeeld studenten die moeite hebben met wiskunde, zullen waarschijnlijk een fout antwoord geven.
Onderzoek wijst uit
- Leerlingen met wiskundige problemen en beperkingen hebben meer moeite met het oplossen van wiskundige vraagstukken dan hun klasgenoten.
(Stevens & Powell, 2016; Jitendra et al., 2015; Fuchs et al., 2010) - Schema-instructie – expliciete instructie in het identificeren van soorten woordproblemen, het correct weergeven ervan en het gebruiken van een effectieve methode om ze op te lossen – blijkt effectief te zijn bij leerlingen met wiskundige moeilijkheden en beperkingen.
(Jitendra et al., 2016; Jitendra et al., 2015; Jitendra et al., 2009; Montague & Dietz, 2009; Fuchs et al., 2010) - Het is effectiever om leerlingen te leren hoe ze woordproblemen kunnen oplossen door de soorten woordproblemen te identificeren, dan hen alleen te leren sleutelwoorden te identificeren (bijvoorbeeld 'totaal', 'verschil').
(Jitendra, Griffin, Deadline-Buchman en Sczesniak, 2007)
Woordprobleemstructuren
Om leerlingen te helpen vaardiger te worden in het oplossen van tekstproblemen, kunnen docenten leerlingen helpen het probleemschema te herkennen. Dit schema verwijst naar de onderliggende structuur van het probleem of het probleemtype (bijvoorbeeld het optellen of combineren van twee of meer sets, het vinden van het verschil tussen twee sets). Dit leidt vervolgens tot een bijbehorende strategie om dat probleemtype op te lossen. Er zijn twee hoofdtypen schema's: additief en multiplicatief. Hieronder introduceren we additieve schema's voordat we verdergaan met beschrijvingen en voorbeelden van multiplicatieve schema's.
Additieve schema's
Additieve schema's kunnen worden gebruikt voor optel- en aftreksommen. Deze schema's zijn effectief voor leerlingen van de basisschool tot en met de middelbare school. Hieronder staan enkele voorbeelden van additieve schema's die worden gebruikt bij het oplossen van woordproblemen: totaal, verschil en verandering.
Beschrijving
- Het optellen of combineren van twee of meer verschillende sets (waarbij elke set een onderdeel vertegenwoordigt) die samen een totaal vormen.
- Ook gekend als deel-deel-geheel or combineren.
- Studenten kunnen de onbekende in de vergelijking oplossen.
- Kan gebruikt worden met verschillende soorten getallen (bijvoorbeeld gehele getallen, breuken, decimalen).
Voorbeelden
Voorbeeld 1:
Sam heeft 2 koekjes. Ali heeft 3 koekjes. Hoeveel koekjes hebben ze in totaal?
Oplossingsvergelijking: 
Voorbeeld 2:
Er zijn 6 leerlingen in het klaslokaal en nog een paar leerlingen in de gang. Er zijn in totaal 20 leerlingen. Hoeveel leerlingen zijn er in de gang?
Oplossingsvergelijking: 
Beschrijving
- Hierbij worden twee verzamelingen met elkaar vergeleken en worden de verschillen tussen deze verzamelingen gevonden.
- Ook gekend als vergelijken.
- Studenten kunnen de onbekende in de vergelijking oplossen.
- Kan gebruikt worden met verschillende soorten getallen (bijvoorbeeld gehele getallen, breuken, decimalen).
Voorbeelden
Voorbeeld 1:
De kleine hond heeft 3 vlekken. De grote hond heeft 7 vlekken. Hoeveel vlekken heeft de grote hond meer dan de kleine hond?
Oplossingsvergelijking: 
Voorbeeld 2:
Cy heeft 3 potloden meer dan Brody. Cy heeft 7 potloden. Hoeveel potloden heeft Brody?
Oplossingsvergelijking: 
Voorbeeld 3:
Ava heeft 9 punten minder dan Giovani. Ava heeft 2 punten. Hoeveel punten heeft Giovani?
Oplossingsvergelijking: 
Beschrijving
- Hierbij wordt gezocht naar de toename of afname van de hoeveelheid van dezelfde set (d.w.z. er is één set en er gebeurt iets met die set).
- Kan meerdere wijzigingen in dezelfde set inhouden.
- Veranderen schema's verschillen van totaal en verschil schema's doordat ze een verandering in de set in de loop van de tijd met zich meebrengen.
- Studenten kunnen elk getal in de vergelijking oplossen.
- Kan gebruikt worden met verschillende soorten getallen (bijvoorbeeld gehele getallen, breuken, decimalen).
Voorbeelden
Voorbeeld 1:
Carly heeft 3 linten. Shay geeft haar 2 linten. Hoeveel linten heeft Carly nu?
Oplossingsvergelijking: 
Voorbeeld 2:
Carly heeft 3 lintjes. Ze gaf Shay 1 lintje. Hoeveel lintjes heeft Carly nu?
Oplossingsvergelijking: 
Voorbeeld 3:
Misha heeft 9 zuignappen. Kaheen heeft haar er nog een paar gegeven. Nu heeft ze er 12. Hoeveel heeft Kaheen haar gegeven?
Oplossingsvergelijking: 
Voorbeeld 4:
Misha heeft een paar zuignappen. Kaheen gaf haar vier zuignappen. Nu heeft Misha er elf. Hoeveel zuignappen had Misha in het begin?
Oplossingsvergelijking: 
(Aangepast van Stevens & Powell, 2016; Morales, Shute & Pellegrino, 1985)
Ter informatie
Zelfs wanneer ze hetzelfde schema gebruiken om een woordprobleem op te lossen, zullen leerlingen de oplossing waarschijnlijk op verschillende manieren benaderen. Een voorbeeld hiervan is hieronder te vinden.
probleem: Emma had negen dollar. Daarna verdiende ze nog wat geld met haar klusjes. Nu heeft Emma twaalf dollar. Hoeveel heeft ze verdiend?
Twee studenten, A en B, stellen het probleem op met behulp van de verandering schema.
Leerling A lost de opgave echter op door 12 – 9 af te trekken. Leerling B lost de opgave op door vanaf 9 verder te tellen. Hoewel de ene leerling optelt en de andere aftrekt, komen beide leerlingen tot de juiste oplossing. Dit voorbeeld illustreert dat de bewerking ondergeschikt is aan de structuur van de rekensom.
Multiplicatieve schema's
Multiplicatieve schema's kunnen worden gebruikt om vermenigvuldigings- en delingsproblemen op te lossen. Er zijn drie hoofdtypen multiplicatieve schema's: gelijk, vergelijking en verhouding/proportionaliteit.
Beschrijving
- Hierbij worden groepen vermenigvuldigd of gedeeld, waarbij er in elke groep evenveel personen zijn.
- Studenten kunnen de onbekende in de vergelijking oplossen.
- Kan gebruikt worden met verschillende soorten getallen (bijvoorbeeld gehele getallen, breuken, decimalen).
- Leerlingen komen dit soort woordproblemen vaak tegen in gestandaardiseerde tests in de derde en vierde klas en in de middelbare school.
Voorbeelden
Voorbeeld 1:
Tara heeft 6 zakken sinaasappels. Er zitten 4 sinaasappels in elke zak. Hoeveel sinaasappels heeft Tara?
Oplossingsvergelijking: 
Voorbeeld 2:
Matthew heeft 20 stripboeken. Zijn boekenkast heeft 5 planken. Hij wil op elke plank evenveel stripboeken zetten. Hoeveel stripboeken zet hij op elke plank?
Oplossingsvergelijking: 
Beschrijving
- Hierbij wordt een set een bepaald aantal keer vermenigvuldigd.
- Studenten kunnen de onbekende in de vergelijking oplossen.
- Kan gebruikt worden met verschillende soorten getallen (bijvoorbeeld gehele getallen, breuken, decimalen).
- Leerlingen komen dit soort woordproblemen vaak tegen in gestandaardiseerde tests in groep 4 en 5 en op de middelbare school.
Voorbeelden
Voorbeeld 1:
Tara heeft 6 zakken sinaasappels. Mai heeft 6 snoepjes. Kyla heeft 2 keer zoveel snoepjes. Hoeveel snoepjes heeft Kyla?
Oplossingsvergelijking: 
Voorbeeld 2:
Pedro heeft 7 videogames. Bronwynn heeft 21 videogames. Hoeveel keer meer videogames heeft Bronwynn dan Pedro?
Oplossingsvergelijking: 
Beschrijving
- Hierbij wordt de relatie tussen twee getallen gevonden.
- Studenten kunnen de onbekende in de vergelijking oplossen.
- Kan gebruikt worden met verschillende soorten getallen (bijvoorbeeld gehele getallen, breuken, decimalen).
- Leerlingen komen dit soort tekstproblemen vaak tegen in gestandaardiseerde tests in de bovenbouw van de basisschool en de middelbare school.
Voorbeeld: Op zaterdag werkte Naoki 10 uur in de brandende zon om te helpen bij het opruimen en revitaliseren van een buurtpark. Om uitdroging te voorkomen, nam ze elk uur een pauze van 5 minuten om water te drinken. Hoeveel tijd besteedde Naoki aan werken vergeleken met de pauzes?
Let op: Om dit probleem op te lossen, heeft de student eerst de uren naar minuten omgerekend, zodat hij met dezelfde eenheid kon werken.
Let op: De student bepaalt dat de verhouding tussen werken en pauzeren 12 minuten werken en 1 minuut pauze nemen bedraagt.
Bron: Jitendra, Star, Dupuis en Rodriguez, 2013
Gecombineerde schema's
Naarmate leerlingen vorderen op school, zullen ze nieuwe soorten wiskundige problemen tegenkomen met nieuwe onderliggende structuren, of schema's. Ze zullen ook te maken krijgen met wiskundige problemen met meerdere stappen. Het onderstaande voorbeeld illustreert een probleem met procentuele verandering dat de combinatie van twee schema's omvat: a multiplicatieve en een toevoeging.
Let op: Nadat de student de ontbrekende waarde in de bovenstaande vergelijking heeft gevonden, voert hij deze samen met de verstrekte informatie in de onderstaande vergelijking in om het probleem op te lossen.
Voorbeeld: Mark is geïnteresseerd in een auto. De auto kost $ 3,200. Hij krijgt 10% korting als hij de auto dit weekend koopt. Hoeveel gaat hij ervoor betalen?
Oplossingsvergelijking (om de hoeveelheid verandering te bepalen):
Nadat de student de uitkomst van het "wisselgeld" heeft berekend, wat $ 320 is, zal hij een andere oplossingsvergelijking opstellen om het "nieuwe totaalbedrag" te vinden.
Oplossingsvergelijking (om het “nieuwe totaal” te bepalen):
De student bepaalt dat Mark met de korting van 10% $ 2,880 betaalt.
Sarah Powell, die uitgebreid onderzoek heeft gedaan naar schema-instructie, bespreekt de onderliggende focus van deze strategie (tijd: 2:40).
Sarah Powell, PhD
Universitair docent, Speciaal Onderwijs
Universiteit van Texas in Austin
Transcript: Sarah Powell, PhD
Het probleem met schema's is dat je woordproblemen niet kunt definiëren aan de hand van hun werking. Je kunt een woordprobleem dus niet beschrijven als een aftreksom of een delingssom. In plaats daarvan moet je het woordprobleem op een dieper niveau beschrijven, en dat is het beschrijven van het woordprobleem aan de hand van het schema. En soms gebruik ik het woord graag structuurHet is echt belangrijk om schema's of structuren te gebruiken, zodat leerlingen consistentie hebben in hun probleemoplossing. Als we de structuur van gecombineerde problemen in groep 1 en 2 aanleren, blijven leerlingen dat schema zien in groep 3, 4 en 5. Nu kunnen de getallen groter worden. Dus in plaats van drie plus negen op te tellen, tellen ze misschien 133 plus 239 op. Maar de structuur is hetzelfde. En dus is een van de dingen die we proberen te doen met onze wiskundestandaarden, die de meeste instructies in de Verenigde Staten bepalen, het creëren van consistentie in het wiskundeonderwijs over leerjaren heen. De schema's helpen daar echt bij, zodat je die gecombineerde structuur steeds weer terugziet.
In de middelbare school zie je het op een iets andere manier. Het maakt misschien deel uit van een meerstappenprobleem, maar het is er nog steeds, zodat we probleemoplossing niet elk jaar opnieuw hoeven te leren. We helpen leerlingen gewoon te zeggen: "Oh, nu kijken we naar een totaalschema, maar dan met breuken. Hier is een totaalschema, maar dan met decimalen." En zo is er veel consistentie in de schema's. En op dit moment wordt probleemoplossing echt klas voor klas onderwezen. Dus hoe los ik woordproblemen op voor groep 2, of hoe los ik woordproblemen op voor groep 5? En dat is geen goede manier om erover na te denken. Het is beter als we ons concentreren op het schema en nadenken over dit continuüm van probleemoplossing per klas. En dat zou probleemoplossing zoveel gemakkelijker maken voor leerlingen en ook voor leraren, omdat ze dan niet elk jaar opnieuw bij af zijn en beginnen met de vraag: hoe geef ik les in probleemoplossing in groep 5?
Ik zou willen stellen dat probleemoplossing het allerbelangrijkste is dat je moet onderwijzen. Want als we kijken naar toetsen met een hoge inzet – en dat is waar leerlingen hun wiskundige vaardigheden tonen – voor rekenopgaven, moeten leerlingen de getallen nemen en manipuleren. Dat is heel moeilijk. Probleemoplossing zou de primaire focus van het wiskundecurriculum moeten zijn, en in plaats van probleemoplossing te onderwijzen als aanvulling op wiskundeonderwijs, zou probleemoplossing echt moeten worden onderwezen als dé manier waarop we wiskunde leren. En we moeten leerlingen ertoe aanzetten om denkers over wiskunde te worden, niet alleen uitvoerders van wiskunde.
Woordprobleemstructuren onderwijzen
Zoals bij het onderwijzen van elke strategie, moeten leraren expliciete, systematische instructies gebruiken bij het introduceren van schema-instructie, ook wel aangeduid als schemagebaseerde instructie (SBI)Hoewel hetzelfde proces wordt gebruikt om elk schema te onderwijzen, volgen hier ter illustratie de stappen voor het onderwijzen van het schema. combineren schema worden in het onderstaande kader weergegeven.
| Stap 1: Leer leerlingen verschillende soorten problemen te herkennen (bijvoorbeeld combineren) en oefen het omzetten van de informatie in een diagram of vergelijking. | |
| beschrijvingen | Voorbeeld |
|
Begin met één probleemtype of schema (bijvoorbeeld combineren).  Begin met verhalen die alle informatie bevatten (dus geen onbekende grootheden). Laat leerlingen zien hoe ze de informatie voor elk probleemtype kunnen omzetten in een diagram (visuele weergave) of vergelijking. |
Leer de studenten hoe ze combinatieproblemen kunnen herkennen. LaTisha heeft 5 strips. Riley heeft er nog 3. Ze hebben in totaal 8 strips.   |
| Stap 2: Leer de leerlingen hoe ze een tekstprobleem met een onbekende hoeveelheid kunnen oplossen. | |
| beschrijvingen | Voorbeeld |
|
Leer de studenten de volgende stappen te gebruiken:
Eén manier om dit te doen is door gebruik te maken van het volgende ezelsbruggetje:
|
Calla heeft 4 cupcakes. Jaden heeft 6 cupcakes. Hoeveel cupcakes hebben ze in totaal? Identificeer het probleemtype: combineer Vertaal naar een vergelijking:  Probleem oplossen:  |
| Stap 3: Stimuleer het studentengesprek | |
| beschrijvingen | Voorbeeld |
|
Tijdens het hele probleemoplossingsproces moet de leraar de leerlingen vragen om te bespreken hoe ze het probleem hebben opgelost. |
Leraar: "Jayla, leg eens uit hoe je wist dat dit een probleemtype was combineren". |
(Aangepast van Stevens & Powell, 2016)
Leraren moeten ervoor zorgen dat leerlingen één schema beheersen (bijv. combineren) voordat u een ander type probleem introduceert (bijv. vergelijkenHierdoor wordt de kans verkleind dat studenten tijdens het leerproces het ene schematype met het andere verwarren.
