וואָסערע עווידענס-באַזירטע מאַטעמאַטיק פּראַקטיקעס קענען לערערס נוצן?
בלאַט 5: וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס
נאך א באווייז-באזירטע סטראטעגיע צו העלפן סטודענטן לערנען אבסטראקטע מאטעמאטיק קאנצעפטן און לייזן פראבלעמען איז די נוצן פון וויסואַל רעפּראַזאַנטיישאַנזמער ווי פשוט אַ בילד אָדער דעטאַלירטע אילוסטראַציע, אַ וויזועלע רעפּרעזענטאַציע—אָפט באַצייכנט ווי אַ סכעמאַטישע רעפּרעזענטאַציע or סכעמאַטישע דיאַגראַמעאיז א גענויע אָפּשילדערונג פון די מאַטעמאַטישע קוואַנטיטעטן און באַציִונגען פון אַ געגעבענער פּראָבלעם. דער ציל פון דעם וויזועלן בילד איז צו שפּיגלען אַ סטודענטינס פארשטאנד פון דעם פּראָבלעם און צו העלפן איר ריכטיק עס אויפלעזן. למשל, אין דעם בילד צו רעכטס, ניצט אַ סטודענט אַ וויזועלע רעפּרעזענטאַציע - דאָ, אַ פּיראָג טשאַרט - צו לערנען וועגן עקוויוואַלענטע בראָכציילן.. טראָץ דעם פאַקט אַז לערערס נוצן די סטראַטעגיע אין די פריע קלאַסן צו העלפֿן סטודענטן לערנען גרונטלעכע מאַטעמאַטיק פאַקטן, סטודענטן מיט מאַטעמאַטיק לערנען דיסאַביליטיז און שוועריקייטן אָפט נישט פאָרזעצן עס צו נוצן אַליין צו סאָלווע פּראָבלעמען.
פאָרשונג שאָוז
- סטודענטן וואָס נוצן גענויע וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס זענען זעקס מאָל מער מסתּמא צו ריכטיק סאָלווען מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען ווי סטודענטן וואָס נוצן זיי נישט. אָבער, סטודענטן וואָס נוצן נישט גענויע וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס זענען ווייניקער מסתּמא צו ריכטיק סאָלווען מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען ווי יענע וואָס נוצן בכלל נישט קיין וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס.
(Boonen, Van Wesel, Jolles, & Van der Schoot, 2014) - סטודענטן מיט אַ לערן-שוועריקייט (LD) שאַפֿן אָפֿט נישט גענויע וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס אָדער נוצן זיי נישט סטראַטעגיש צו סאָלווען פּראָבלעמען. לערנען סטודענטן סיסטעמאַטיש צו נוצן אַ וויזועלע רעפּרעזענטאַציע צו סאָלווען וואָרט פּראָבלעמען האָט געפֿירט צו באַדייטנדיקע פֿאַרבעסערונגען אין מאַטעמאַטיק דערגרייכונגען פֿאַר סטודענטן מיט לערן-שוועריקייטן.
(van Garderen, Scheuermann, & Jackson, 2012; van Garderen, Scheuermann, & Poch, 2014) - סטודענטן וואָס נוצן וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס צו סאָלווען וואָרט פּראָבלעמען זענען מער מסתּמא צו סאָלווען די פּראָבלעמען פּינקטלעך. דאָס איז געווען גלייך אמת פֿאַר סטודענטן וואָס האָבן געהאַט LD, זענען געווען נידעריק-דערגרייכנדיק, אָדער זענען געווען דורכשניטלעך-דערגרייכנדיק.
(קראַוועק, 2014)
וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס זענען פלעקסיבל; זיי קענען גענוצט ווערן איבער קלאַס לעוועלס און טיפן פון מאַטעמאַטיק פּראָבלעמען. זיי קענען גענוצט ווערן דורך לערערס צו לערנען מאַטעמאַטיק פאַקטן און דורך סטודענטן צו לערנען מאַטעמאַטיק אינהאַלט. וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס קענען נעמען אַ נומער פון פארמען. גיט אויף די לינקס אונטן צו זען עטלעכע פון די וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס וואָס ווערן מערסטנס גענוצט דורך לערערס און סטודענטן.
ווי אזוי פּאַסט זיך דאָס צו אַ פּראַקטיק?
הויך-לעווערידזש פּראַקטיק (HLP)
- הלפּ 15צושטעלן שטיצעס פון געשטעלטע מאַטעריאַלן
CCSSM: סטאַנדאַרדן פֿאַר מאַטעמאַטישע פּראַקטיק
- מפּקסנומקס: מאַכן זינען פון פּראָבלעמען און דורכגיין אין זייער סאָלווינג.
דעפיניציעא גלייכע ליניע וואס ווייזט די סדר פון און די באַציִונג צווישן נומערן.
פּראָסט ניצט: צוגאב, סובטראַקציע, ציילן
דעפיניציעא באַר צעטיילט אין רעכטעקן וואָס רעפּרעזענטירן גענוי די קוואַנטיטעטן וואָס זענען באַמערקט אין דער פּראָבלעם.
פּראָסט ניצטאַדיציע, בראָכציילן, פּראָפּאָרציעס, פאַרהעלטענישן
דעפיניציעפּשוטע צייכענונגען פון קאָנקרעטע אָדער עכטע זאַכן (למשל, מאַרבלען, טראָקס).
פּראָסט ניצטציילן, צולייגן, סובטראַקציע, מאַלטיפּליקאַציע, דיוויזיע
דעפיניציעצייכענונגען וואָס ווייַזן אינפֿאָרמאַציע מיט ליניעס, פֿאָרמען און פֿאַרבן.
פּראָסט ניצטפֿאַרגלייַכן נומערן, סטאַטיסטיק, פּראָפּאָרציעס, אַלגעברע
דעפיניציעוויזועל וואָס העלפֿט סטודענטן געדענקען און אָרגאַניזירן אינפֿאָרמאַציע, און אויך אָפּגעבן די באַציִונגען צווישן געדאַנקען (למשל, וואָרט וועבן, טאַבעלעס, ווען דיאַגראַמען).
פּראָסט ניצטאַלגעברע, געאָמעטריע
| Triangles | ||
|---|---|---|
| יקווילאַטעראַל | – אַלע זייטן זענען די זעלבע לענג – אַלע ווינקלען 60° |
 |
| ייסאַסאַליז | – צוויי זייטן זענען די זעלבע לענג – צוויי ווינקלען זענען די זעלבע |
 |
| סקיילן | – קיין זייטן זענען נישט די זעלבע לענג – קיין ווינקלען זענען נישט די זעלבע |
 |
| רעכט | – איין ווינקל איז 90° (רעכטער ווינקל) – די פארקערטע זייט פון א רעכטן ווינקל איז די לענגסטע זייט (היפּאָטענוזע) |
 |
| אַבטוס | – איין ווינקל איז גרעסער ווי 90° |  |
| אַקוטע | – אַלע ווינקלען זענען ווייניקער ווי 90° |  |
אבער, איידער זיי קענען לייזן פראבלעמען, מוזן סטודענטן ערשט וויסן וואספארא סארט וויזועלע רעפרעזענטאציע צו שאפן און נוצן פאר א געגעבענער מאטעמאטיק פראבלעם. געוויסע סטודענטן – ספעציפיש, הויך-ערגרייכנדיקע סטודענטן, באגאבטע סטודענטן – טוען דאס אויטאמאטיש, משא"כ אנדערע דארפן קלאר געלערנט ווערן ווי אזוי. דאס איז ספעציעל דער פאל פאר סטודענטן וואס האבן שוועריגקייטן מיט מאטעמאטיק און יענע מיט מאטעמאטיק לערן שוועריגקייטן. אן קלארע, סיסטעמאטישע אינסטרוקציעס ווי אזוי צו שאפן און נוצן וויזועלע רעפרעזענטאציעס, שאפן די סטודענטן אפט וויזועלע רעפרעזענטאציעס וואס זענען נישט ארגאניזירט אדער אנטהאלטן אומרעכטע אדער טיילווייזע אינפארמאציע. באטראכט די ביישפילן אונטן.
עלעמענטאר ביישפּיל
מרס. אַלדרידזש בעט אירע ערשטע-קלאַס סטודענטן צו צולייגן 2 + 4 דורך צייכענען פונקטן.
טאַליאַ צייכנט די פאלגענדע:
קאָלבי צייכנט די פאלגענדע: 
באַמערקט אַז טאַליאַ באַקומט די ריכטיקע ענטפֿער. אָבער, ווײַל קאָלבי צייכנט זיינע פּונקטן אויף אַ צופֿעליקן אופֿן, ציילט ער זיי נישט אַלע און דערפֿאַר קומט ער צום אומרעכטן לייזונג.
הויך שולע בייַשפּיל
הער הואנג בעט זיינע סטודענטן צו סאָלווען די פאלגענדע וואָרט פּראָבלעם:
די פאָן־שטאַנג דאַרף ווערן פֿאַרבייטן. די שול וואָלט געוואָלט זי פֿאַרבייטן מיט דער זעלבער גרייס שטאַנג. ווען וואַן שטייט 11 פֿוס פֿון דער באַזע פֿון דער שטאַנג, איז דער ווינקל פֿון הייך פֿון וואַן'ס פֿיס ביז דער שפּיץ פֿון דער שטאַנג 70 גראַד. ווי הויך איז די שטאַנג?
פאַרגלייכט די צייכענונגען אונטן באשאפן דורך בראָדיי און זאָוי צו רעפּרעזענטירן דעם פּראָבלעם. באַמערקט אַז בראָדיי האָט געצייכנט אַ פּינקטלעכע רעפּרעזענטאַציע און געווענדט די ריכטיקע סטראַטעגיע. אין קאַנטראַסט, זאָוי האָט געצייכנט אַ בילד מיט טיילווייז ריכטיקע אינפֿאָרמאַציע. די 11 איז אין דער ריכטיקער אָרט, אָבער די 70° איז נישט. צוליב איר פּינקטלעכער רעפּרעזענטאַציע, איז זאָוי נישט ביכולת צו גיין פאָרויס און סאָלווען דעם פּראָבלעם. אָבער, געגעבן אַ פּינקטלעכע רעפּרעזענטאַציע דעוועלאָפּעד דורך עמעצן אַנדערש, איז זאָוי מער מסתּמא צו סאָלווען דעם פּראָבלעם ריכטיק.
בראד
זאָוי
מאַניפּולאַטיוועס
עטלעכע סטודענטן וועלן נישט קענען באַגרייפן מאַטעמאַטישע סקילז און קאָנצעפּטן ניצנדיק בלויז די טיפּן וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס וואָס זענען דערמאָנט אין דער טאַבעלע אויבן. זייער יונגע קינדער און סטודענטן וואָס האָבן שוועריקייטן מיט מאַטעמאַטיק דאַרפן אָפט פאַרשידענע טיפּן וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס באַקאַנט ווי מאַניפּולאַטיוועס. די קאָנקרעטע, הענט-אויף מאַטעריאַלן און אָביעקטן - למשל, אַן אַבאַקוס אָדער מטבעות - העלפֿן סטודענטן צו רעפּרעזענטירן די מאַטעמאַטישע געדאַנק וואָס זיי פּרוּוון צו לערנען אָדער די פּראָבלעם וואָס זיי פּרוּוון צו סאָלווען. מאַניפּולאַטיוועס קענען העלפֿן סטודענטן אַנטוויקלען אַ קאָנצעפּטואַל פארשטאנד פון מאַטעמאַטישע טעמעס. (פֿאַר די צוועקן פון דעם מאָדול, דער טערמין קאָנקרעטע אָביעקטן באַציט זיך צו מאַניפּולאַטיווען און דעם טערמין וויסואַל רעפּראַזאַנטיישאַנז באַציט זיך צו סכעמאַטישע דיאַגראַמען.)
עס איז וויכטיג אז דער לערער זאל קלאר מאכן די פארבינדונג צווישן דעם קאנקרעטן אביעקט און דעם אבסטראקטן באגריף וואס ווערט געלערנט. די ציל איז אז דער סטודענט זאל עווענטועל פארשטיין די באגריפונגען און פראצעדורן אן די נוצן פון מאניפולאטיוון. פאר מיטלשול סטודענטן וואס האבן שוועריגקייטן מיט מאטעמאטיק, זאלן לערער ווייזן דעם אבסטראקטן צוזאמען מיט דער קאנקרעטער אדער וויזועלער רעפרעזענטאציע און קלאר מאכן די פארבינדונג צווישן זיי.
א אריבערגאנג פון קאנקרעטע אביעקטן אדער וויזועלע רעפרעזענטאציעס צו ניצן אבסטראקטע גלייכונגען קען זיין שווער פאר געוויסע סטודענטן. איין סטראטעגיע וואס לערערס קענען ניצן צו העלפן סטודענטן סיסטעמאטיש אריבערגיין צווישן קאנקרעטע אביעקטן, וויזועלע רעפרעזענטאציעס, און אבסטראקטע גלייכונגען איז די קאנקרעט-רעפרעזענטאציאנעל-אבסטראקט (CRA) פריימווערק.
קאָנקרעט-רעפּרעזענטאַטיוו-אַבסטראַקט ראַם
די קאנקרעט-רעפרעזענטאציאנעל-אבסטראקט (CRA) פריימווערק העלפט סטודענטן באקומען א קאנצעפטועל פארשטאנד פון א מאטעמאטישן פראצעס, אנשטאט נאר צו פארענדיגן דעם אלגאריטם (למשל, 2 + 4, 2x + y = 27). סיסטעמאטיש פארבינדן קאנקרעטע אביעקטן אדער וויזועלע רעפרעזענטאציעס צו דער אבסטראקטער גלייכונג איז א וועג צו פארשטארקן א סטודענט'ס פארשטאנד. די קאמפאנענטן פון די פריימווערק זענען:
- באַטאָנען —סטודענטן אינטעראַקטירן און מאַניפּולירן דריי-דימענסיאָנאַלע אָביעקטן, למשל אַלגעברע טיילז אָדער אַנדערע אַלגעברע מאַניפּולאַטיווען מיט רעפּרעזענטאַציעס פון וועריאַבאַלן און איינסן.
- רעפּרעסענטאַטיאָנאַל — סטודענטן ניצן צוויי-דימענסיאָנאַלע צייכענונגען צו רעפּרעזענטירן פּראָבלעמען. די בילדער קענען זיי פּרעזענטירט ווערן דורך דעם לערער, אָדער דורך דעם לערנפּלאַן וואָס ווערט גענוצט אין קלאַס, אָדער סטודענטן קענען צייכענען זייער אייגענע רעפּרעזענטאַציע פון דעם פּראָבלעם.
- אַבסטראַקט — סטודענטן לייזן פראבלעמען מיט נומערן, סימבאלן און ווערטער אָן קיין קאנקרעטע אדער רעפרעזענטאציאנעלע הילף.
CRA איז עפעקטיוו איבער אלע עלטער לעוועלס און קען העלפן סטודענטן לערנען קאנצעפטן, פראצעדורן, און אנווענדונגען. ווען זיי אימפלעמענטירן יעדן קאמפאנענט, זאלן לערערס ניצן קלארע, סיסטעמאטישע אינסטרוקציעס און כסדר מאניטארן סטודענטן ארבעט צו אפשאצן זייער פארשטאנד, פרעגן זיי פראגעס וועגן זייער טראכטן און צושטעלן קלערונג ווי נויטיג. קאנקרעטע און רעפרעזענטאציאנעלע אקטיוויטעטן מוזן אפשפיגלען דעם אמת'ן פראצעס פון לייזן דעם פראבלעם אזוי אז סטודענטן זאלן קענען גענעראליזירן דעם פראצעס צו לייזן אן אבסטראקטע גלייכונג. די אילוסטראציע אונטן אונטערשטרייכט יעדן פון די קאמפאנענטן.
פֿאַר דיין אינפֿאָרמאַציע
איין פּראָמיסינג פּראַקטיק פֿאַר שנעל אַריבערפֿירן מיטלשול־סטודענטן מיט מאַטעמאַטישע שוועריקייטן אָדער דיסאַביליטיז פֿון נוצן מאַניפּולאַטיוון און וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס צו דער אַבסטראַקטער גלייכונג איז די CRA-I סטראַטעגיעאין דעם מאדיפיצירטן ווערסיע פון CRA, פרעזענטירט דער לערער גלײַכצײַטיק דעם אינהאַלט ניצנדיק קאָנקרעטע אָביעקטן, וויזועלע רעפּרעזענטאַציעס פון די קאָנקרעטע אָביעקטן, און די אַבסטראַקטע גלייכונג. שטודיעס האָבן געוויזן אַז דאָס ראַם איז עפֿעקטיוו פֿאַר לערנען אַלגעברע צו דעם פּאָפּולאַציע פון סטודענטן (סטריקלענד און מאַקסיני, 2012; סטריקלענד און מאַקסיני, 2013; סטריקלענד, 2017).
קים פאולסען דיסקוטירט די בענעפיטן פון מאַניפּולאַטיווען און אַ צאָל זאַכן צו געדענקען ווען מען ניצט זיי (צייט: 2:35).
קים פאולסען, עד.די.
אַסאָציאַט פּראָפעסאָר, ספּעציעלע בילדונג
וואַנדערבילט אוניווערסיטעט
טראַנסקריפּט: קים פּאָלסען, עד.די.
מאַניפּולאַטיווען זענען אַ גוטער וועג צו העלפֿן קינדער פֿאַרשטיין קאָנצעפּטועל. די נוצֿונג פֿון מאַניפּולאַטיווען העלפֿט טאַקע סטודענטן דאָס זען קאָנצעפּטועל, און עס פּאַסט אַ ביסל מער מיט זיי. עטלעכע זאַכן, אָבער, וואָס מיר דאַרפֿן געדענקען ווען מיר נוצן מאַניפּולאַטיווען איז אַז עס איז וויכטיק צו געבן סטודענטן אַ ביסל פֿרײַע צײַט ווען איר נוצט אַ נײַעם מאַניפּולאַטיוו אַזוי אַז זיי קענען נאָר אויספֿאָרשן מיט זיי. מיר דאַרפֿן האָבן ספּעציפֿישע כּללים פֿאַר ווי אַזוי צו נוצן מאַניפּולאַטיווען, אַז זיי זענען נישט שפּילצײַג, אַז זיי זענען טאַקע לערן מאַטעריאַלן, און ווי אַזוי סטודענטן נעמען זיי אויף, ווי אַזוי זיי לייגן זיי אַוועק, די ריכטיקע צײַט צו נוצן זיי, און זיכער מאַכן אַז זיי זענען נישט שטערנדיקע בשעת מיר טוען טאַקע די פּרעזענטאַציע טייל פֿון דער לעקציע. איינע פֿון די וויכטיקע זאַכן איז אַז מיר ווילן נישט אַז סטודענטן זאָלן מעמעריזירן דעם אַלגעריטם אָדער די פּראָצעדורן בשעת זיי נוצן די מאַניפּולאַטיווען. עס איז טאַקע נאָר צו העלפֿן זיי פֿאַרשטיין קאָנצעפּטועל. דאָס מיינט נישט אַז קינדער וועלן אויטאָמאַטיש פֿאַרשטיין קאָנצעפּטועל אָדער קענען מאַכן יענעם בריק צווישן ניצן די קאָנקרעטע מאַניפּולאַטיוון און זיי קענען סאָלווען די פּראָבלעמען. פֿאַר עטלעכע קינדער איז שווער צו ניצן די מאַניפּולאַטיוון. אַזוי לערנען זיי נישט, און דעריבער ווילן מיר נישט צווינגען קינדער צו נוצן מאַניפּולאַטיוון אויב עס איז נישט עפּעס וואָס איז נוצלעך פֿאַר זיי. אַזוי מוזן מיר געדענקען אַז מאַניפּולאַטיוון זענען איין וועג צו טראַכטן וועגן לערנען מאַטעמאַטיק.
איך טראַכט אַז אַ טייל פֿון דער סיבה פֿאַרוואָס עטלעכע לערערס נוצן זיי נישט איז ווײַל עס נעמט אַ סך צײַט, עס נעמט אַ סך אָרגאַניזאַציע, און זיי פֿילן אויך אַז סטודענטן ווערן צו פֿאַרלאָזלעך אויף מאַניפּולאַטיווען. איין וועג צו טראַכטן וועגן דעם נוצן פֿון מאַניפּולאַטיווען איז אַז איר טוט עס אַ פּאָר לעקציעס ווען איר לערנט אַ נײַעם קאָנצעפּט, און דערנאָך נעמט איר די אַוועק כּדי סטודענטן זאָלן קענען טאָן נאָר דעם קאָמפּיוטאַציע טייל דערפֿון. עס איז אמת אַז מיר קענען נישט גיין אַרום לעבן מיט מאַניפּולאַטיווען אין אונדזערע הענט. און איך טראַכט אַז איינע פֿון די אַנדערע סיבות פֿאַרוואָס אַ סך שולן אָדער לערערס נוצן נישט מאַניפּולאַטיווען איז ווײַל זיי זענען זייער טײַער. און אַזוי איז עס זייער נוצלעך אויב אַלע לערערס אין דער שול קענען צוזאַמענשטעלן רעסורסן און האָבן אַ מאַניפּולאַטיווע צימער וווּ לערערס קענען גיין קאָנטראָלירן מאַניפּולאַטיווען אַזוי אַז עס זאָל נישט זײַן אַזוי טײַער. לערערס דאַרפֿן וויסן ווי זיי צו נוצן, און דאָס נעמט אַ סך פּראַקטיק.
