Studium przypadku

Matematyka: Identyfikowanie i rozwiązywanie błędów uczniów

Wprowadzenie

Uczniowie często popełniają błędy podczas rozwiązywania zadań matematycznych. Czasami wynikają one z niedbalstwa, a czasami z nieporozumień koncepcyjnych lub deficytów umiejętności. Gdy uczniowie stale mają trudności lub słabo radzą sobie z zadaniami matematycznymi, nauczyciele mogą rozważyć przeprowadzenie analizy błędów. analiza błędów to rodzaj oceny diagnostycznej, która może pomóc nauczycielowi określić, jakie rodzaje błędów popełnia uczeń i dlaczego. Dokładniej, jest to proces identyfikacji i analizy błędów ucznia w celu ustalenia, czy istnieje pewien schemat – czyli czy uczeń popełnia ten sam rodzaj błędu konsekwentnie. Jeśli schemat istnieje, nauczyciel może zidentyfikować błędne przekonania lub braki w umiejętnościach ucznia, a następnie zaprojektować i wdrożyć nauczanie odpowiadające jego specyficznym potrzebom.

Badania nad analizą błędów nie są nowością: naukowcy na całym świecie prowadzą badania nad tym tematem od dziesięcioleci. Analiza błędów okazała się skuteczną metodą identyfikacji wzorców błędów matematycznych u każdego ucznia, z niepełnosprawnościami lub bez, który ma trudności z matematyką.

Kroki przeprowadzania analizy błędów

Analiza błędów składa się z następujących kroków:

Krok 1. Zbierz dane: Poproś ucznia o rozwiązanie co najmniej 3–5 zadań tego samego typu (np. mnożenie liczb wielocyfrowych).

Krok 2. Zidentyfikuj wzorce błędów: Przejrzyj rozwiązania ucznia, szukając spójnych wzorców błędów (np. błędów związanych z przegrupowywaniem).

Krok 3. Określ przyczyny błędów: Dowiedz się, dlaczego uczeń popełnia te błędy, analizując procedury, których używa do rozwiązywania problemów, lub prosząc go o wyjaśnienie swojej logiki.

Krok 4. Wykorzystaj dane, aby zająć się schematami błędów: Zdecyduj, jaki rodzaj strategii edukacyjnej najlepiej sprawdzi się w przypadku deficytów umiejętności lub nieporozumień ucznia.

Każde studium przypadku obejmuje wiele arkuszy STAR i przypadków.

O strategii

Zbieranie danych analiza błędów polega na poproszeniu ucznia o wypełnienie arkusza roboczego, testu lub narzędzia do monitorowania postępów zawierającego szereg problemów tego samego typu lub poproszeniu ucznia o wyjaśnienie jego sposobu myślenia i procesów.

Co mówią badania i zasoby

• Analiza błędów to jedna z form oceny diagnostycznej. Zebrane dane mogą pomóc nauczycielom zrozumieć dlaczego uczniowie mają trudności z robieniem postępów w realizacji niektórych zadań i dostosowywaniem nauczania do swoich konkretnych potrzeb (National Center on Intensive Intervention, nd;
  Kingsdorf i Krawec, 2014; Hwang i Riccomini, 2021; Lewisa, 2016; Lewis i in., 2020; Nelsona i Powella, 2018).
• Dane analizy błędów można zbierać za pomocą środków formalnych (np. testów rozdziałowych, testów standaryzowanych) lub nieformalnych (np. prac domowych, arkuszy ćwiczeń w klasie, wywiadów) (Riccomini, 2014; Lewis, 2016; Lewis & Fisher, 2018).
• Aby pomóc w ustaleniu wzorca błędów, miara zbierania danych musi zawierać co najmniej trzy do pięciu problemów tego samego typu (Special Connections, b.d.).
• Do typowych błędów należą: użycie niewłaściwej operacji, błąd w obliczeniach (np. w podstawowych faktach, przegrupowaniu), błędy proceduralne (np. zapomnienie o przegrupowaniu, wykonanie nieprawidłowej operacji) oraz błędy wizualno-przestrzenne (np. wyrównanie kolumn, wzorce, odczyt wykresów) (Nelson i Powell, 2018; Lin i in., 2025; Rong i Monnen, 2022; Nelson i Powell, 2018).

Identyfikacja źródeł danych

Aby przeprowadzić analizę błędów matematycznych, nauczyciel musi najpierw zebrać dane. Może to zrobić, korzystając z szeregu materiałów uzupełnionych przez ucznia (tzw. „produkt ucznia”). Należą do nich arkusze ćwiczeń, narzędzia do monitorowania postępów, zadania, quizy i testy z poszczególnych rozdziałów. Można również wykorzystać pracę domową, zakładając, że nauczyciel jest przekonany, że uczeń wykonał zadanie samodzielnie. Niezależnie od rodzaju wykorzystanego „produktu ucznia”, powinien on zawierać co najmniej trzy do pięciu zadań tego samego typu. Pozwala to na uzyskanie wystarczającej liczby elementów do określenia wzorców błędów.

Punktacja

Aby lepiej zrozumieć, dlaczego uczniowie mają trudności, nauczyciel powinien zaznaczyć każdą nieprawidłową cyfrę w odpowiedzi ucznia, zamiast po prostu zaznaczyć całą odpowiedź jako nieprawidłową. Ocena każdej cyfry w odpowiedzi pozwala nauczycielowi szybciej i wyraźniej zidentyfikować błąd ucznia i określić, czy uczeń popełnia go konsekwentnie w wielu zadaniach. Na przykład, poświęć chwilę na zapoznanie się z poniższym arkuszem ćwiczeń. Zaznaczając nieprawidłowe cyfry, nauczyciel może stwierdzić, że chociaż uczeń wydaje się rozumieć podstawowe zasady matematyki, nie przegrupowuje „1” do kolumny dziesiątek w zadaniach z dodawania i mnożenia.

Uwaga: Zaznaczenie każdej nieprawidłowej cyfry nie zawsze ujawnia wzorzec błędu. Zapoznaj się z arkuszami STAR: Identyfikowanie wzorców błędów, Zadania tekstowe: Dodatkowe wzorce błędów oraz Określanie przyczyn błędów, aby dowiedzieć się więcej o identyfikowaniu różnych rodzajów błędów popełnianych przez uczniów.

O strategii

Identyfikacja wzorców błędów Odnosi się do określenia rodzaju(ów) błędów popełnianych przez ucznia podczas rozwiązywania zadań matematycznych. Istnieją trzy rodzaje błędów:

1. Błędy rzeczowe – błędy wynikające z braku informacji rzeczowych (np. błędna identyfikacja cyfr, błędy w liczeniu)
2. Błędy proceduralne – błędy wynikające z nieprawidłowego wykonania kroków w procesie matematycznym (np. brak przegrupowania, błędne umieszczenie przecinka dziesiętnego)
3. Błędy koncepcyjne – błędy wynikające z nieporozumień lub błędnego zrozumienia podstawowych zasad i idei związanych z problemem matematycznym (np. niezrozumienie wartości miejsca, nieprawidłowe stosowanie reguł do nowych problemów)

Co mówią badania i zasoby

• Od trzech do pięciu błędów w przypadku danego typu problemu stanowi wzór błędu (Howell, Fox i Morehead, 1993; Radatz, 1979).
• Zazwyczaj błędy matematyczne uczniów można podzielić na trzy szerokie kategorie: faktyczne, proceduralne i koncepcyjne. Każdy z tych błędów wynika albo z braku wiedzy ucznia, albo z nieporozumienia (Fisher i Frey, 2012; Riccomini, 2014; Lin i in., 2025).
• Najczęstszym rodzajem błędów są błędy proceduralne (Riccomini, 2014; Nelson & Powell, 2018).
• Ponieważ wiedza koncepcyjna i proceduralna często się pokrywają, trudno jest odróżnić błędy koncepcyjne od błędów proceduralnych (Rittle-Johnson, Siegler i Alibali, 2001; Riccomini, 2014).
• Nie każdy błąd wynika z braku wiedzy lub deficytu umiejętności. Czasami uczeń popełnia błąd w wyniku zmęczenia lub rozproszenia uwagi (tj. nieuwagi) (Fisher i Frey, 2012).

Typowe błędy faktyczne

Błędy rzeczowe występują, gdy uczniowie nie mają wystarczających informacji. Zapoznaj się z poniższą tabelą, aby dowiedzieć się o najczęstszych błędach rzeczowych popełnianych przez uczniów.

Błąd rzeczowy	Przykłady
Nie opanował podstawowych faktów liczbowych Uczeń nie zna podstawowych faktów matematycznych i popełnia błędy dodając, odejmując, mnożąc lub dzieląc liczby jednocyfrowe.	3 + 2 = 7 7 − 4 = 2 2 × 3 = 7 8 ÷ 4 = 3
Błędnie identyfikuje znaki	2 × 3 = 5 (Uczeń rozpoznaje znak mnożenia jako znak dodawania.) 8 ÷ 4 = 4 (Uczeń uważa, że ​​znak dzielenia to znak minus.)
Błędnie identyfikuje cyfry	Uczeń rozpoznaje liczbę 5 jako 2.
Popełnia błędy w liczeniu	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 (Uczeń pomija 6.)
Nie zna terminów matematycznych (słownictwa)	Uczeń nie rozumie znaczenia takich terminów jak: licznik, mianownik, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotnośćlub obwód.
Nie zna wzorów matematycznych	Uczeń nie zna wzoru pozwalającego obliczyć pole koła.

Typowe błędy proceduralne

Wiedza proceduralna to zrozumienie kroków lub procedur wymaganych do rozwiązania problemu. Błędy proceduralne występują, gdy uczeń nieprawidłowo stosuje regułę lub algorytm (tj. wzór lub procedurę krok po kroku rozwiązywania problemu). Zapoznaj się z poniższą tabelą, aby dowiedzieć się więcej o niektórych typowych błędach proceduralnych.

Błąd proceduralny	Przykłady
Przegrupowywanie błędów
Zapomina o przegrupowaniu Uczeń zapomina o przegrupowaniu podczas dodawania, mnożenia i odejmowania.	Przykład 1: Uczeń poprawnie dodaje 7 + 4, ale nie grupuje żadnej grupy 10 w kolumnie dziesiątek. 77 + 54 121 Przykład 2: Uczeń nie grupuje ponownie jednej grupy 10 z kolumny dziesiątek, lecz odejmuje liczbę mniejszą (3) od liczby większej (6) z kolumny jedności. 123 - 76 53 Przykład 3: Po pomnożeniu 2 × 6 uczeń nie potrafi przegrupować jednej grupy 10 z kolumny dziesiątek. 56 x 2 102
Przegrupowuje się przez zero Kiedy w zadaniu występuje jedno lub więcej zer w odjemnej (najwyższej liczbie), uczeń nie jest pewien, co zrobić.	Uczeń odejmuje 0 od 2 zamiast przegrupować. 304 - 21 323
Wykonuje nieprawidłową operację Chociaż uczniowie potrafią poprawnie rozpoznawać znaki (np. dodawanie, minus), często odejmują, gdy powinni dodawać, i odwrotnie. Zdarza się jednak, że uczniowie wykonują również inne niepoprawne działania, takie jak mnożenie zamiast dodawania.	Przykład 1: Uczeń dodaje zamiast odejmować. 234 - 45 279 Przykład 2: Uczeń mnoży zamiast dodawać. 3 + 2 6
Błędy ułamkowe
Nie udaje mu się znaleźć wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania ułamków	Uczeń dodaje liczniki, a następnie mianowniki, nie znajdując wspólnego mianownika. 3       4  + 1       3  = 4       7
Nie potrafi odwrócić, a następnie pomnożyć ułamków podczas dzielenia	Uczeń nie zamienia liczby 2 na 1/2 przed wykonaniem mnożenia, aby uzyskać poprawną odpowiedź równą 1/4. 1       2   ÷   2 = 1       2   x   2       1   =   2       2   =   1
Nie można zmienić mianownika podczas mnożenia ułamków	Uczeń nie mnoży mianowników, aby uzyskać prawidłową odpowiedź. 2       8   x   5       8  = 10       8
Nieprawidłowa konwersja liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy	Aby znaleźć licznik, uczeń dodaje 2 + 1 + 1, aby otrzymać 4, zamiast postępować zgodnie z prawidłową procedurą (2 × 1 + 1 = 3). 1 1       2  = 4       2
Błędy dziesiętne
Nie wyrównuje przecinków dziesiętnych podczas dodawania lub odejmowania Uczeń układa liczby bez względu na to, gdzie znajduje się przecinek dziesiętny.	Uczeń nie ustawia prawidłowo przecinków dziesiętnych. W tym przypadku 4 i 2 są na miejscu dziesiątym i powinny być wyrównane. 120.4 + 63.21 75.25
Nie umieszcza przecinka dziesiętnego w odpowiednim miejscu podczas mnożenia lub dzielenia Uczeń nie liczy i dodaje liczbę miejsc dziesiętnych w każdym czynniku, aby określić liczbę miejsc dziesiętnych w iloczynie. Uwaga: Może to być również błąd koncepcyjny związany z wartością miejsca.	Podobnie jak w przypadku dodawania lub odejmowania, uczeń wyrównuje przecinek w iloczynie z przecinkami w czynnikach. Uczeń nie liczy i dodaje liczbę miejsc po przecinku w każdym czynniku, aby określić liczbę miejsc po przecinku w iloczynie. 3.4 x 2 6.8

Typowe błędy koncepcyjne

Wiedza konceptualna to zrozumienie leżących u jej podstaw idei i zasad oraz umiejętność ich zastosowania. Obejmuje ona również zrozumienie relacji między ideami i zasadami. Błędy konceptualne występują, gdy uczeń ma błędne przekonania lub nie rozumie podstawowych zasad i idei związanych z danym problemem matematycznym. Zapoznaj się z poniższą tabelą, aby dowiedzieć się więcej o niektórych typowych błędach konceptualnych.

Błąd koncepcyjny	Przykłady
Nie rozumie wartości pozycyjnej Uczeń nie rozumie zasad działania systemu pozycyjnego i zapisuje odpowiedź tak, że liczby nie znajdują się na właściwych pozycjach systemu pozycyjnego.	Przykład 1: Uczeń dodaje wszystkie liczby (6 + 7 + 4 = 17), nie rozumiejąc wartości kolumn jedności i dziesiątek. 67 + 4 17 Przykład 2: Uczeń zapisuje odpowiedź, wpisując liczby w odwrotnej kolejności, ignorując właściwą wartość miejsca liczb lub cyfr. 10 + 9 91 Przykład 3: Uczeń, wyrażając liczbę składającą się z więcej niż dwóch cyfr, nie rozumie koncepcji pozycji wartości miejsca. Zapisz poniższe jako liczbę: siedemdziesiąt sześć dziewięćset siedemdziesiąt cztery sześć tysięcy sześćset dwadzieścia cztery Odpowiedź ucznia: 76 90074 600060024
Zbytnie uogólnianie Z powodu braku zrozumienia pojęć uczeń nieprawidłowo stosuje zasady i wiedzę w nowych sytuacjach.	Przykład 1: Niezależnie od tego, czy większa liczba znajduje się w odjemnej (liczbie górnej), czy w odjemnej (liczbie dolnej), uczeń zawsze odejmuje liczbę mniejszą od większej, tak jak robi się to w przypadku odejmowania liczb jednocyfrowych. 321 - 245 124 2 przykład: Uporządkuj podane ułamki od najmniejszego do największego. 77       486 1       351 12       200 Nie rozumiejąc związku między licznikiem a mianownikiem (czyli większe mianowniki oznaczają mniejsze części ułamkowe), uczeń układa ułamki w następującej kolejności. 12       200 1       351 77       486
Specjalizuje się nadmiernie Z powodu braku zrozumienia pojęć, uczeń formułuje zbyt wąską definicję danego pojęcia lub tego, kiedy należy zastosować regułę lub algorytm.	Które z poniższych trójkątów są trójkątami prostokątnymi? Kojarząc trójkąt prostokątny tylko z tymi, które mają taką samą orientację jak , uczeń wybiera.

O strategii

A problem słowny przedstawia hipotetyczną sytuację ze świata rzeczywistego, w której uczeń musi zastosować wiedzę matematyczną i rozumowanie, aby znaleźć rozwiązanie.

Co mówią badania i zasoby

• Studenci uważają, że ćwiczenia obliczeniowe są trudniejsze, gdy są wyrażone w postaci zadań tekstowych, a nie zdań liczbowych (np. 3 + 2 =) (Sherman, Richardson i Yard, 2009).
• Rozwiązując zadania tekstowe, uczniowie mają największe trudności ze zrozumieniem, czego wymaga od nich zadanie. Mówiąc dokładniej, uczniowie mogą nie rozpoznawać rodzaju zadania i w związku z tym nie wiedzieć, jaką strategię zastosować (Jitendra i in., 2007; Sherman, Richardson i Yard, 2009; Powell, 2011; Shin i Bryant, 2015; Lien i in., 2020).
• Zadania tekstowe wymagają szeregu umiejętności (np. czytania tekstu, rozumienia tekstu, tłumaczenia go na zdania liczbowe, określenia prawidłowego algorytmu). W rezultacie wielu uczniów, zwłaszcza tych z trudnościami w matematyce i czytaniu, uważa zadania tekstowe za trudne (Powell, Fuchs, Fuchs, Cirino i Fletcher, 2009; Reys, Lindquist, Lambdin i Smith, 2015; Lien i in., 2020).
• Zadania tekstowe są szczególnie trudne dla uczniów z trudnościami w uczeniu się (Krawec, 2014; Shin i Bryant, 2015).

Typowe trudności związane z rozwiązywaniem zadań tekstowych

Uczeń może niepoprawnie rozwiązywać zadania tekstowe z powodu błędów merytorycznych, proceduralnych lub koncepcyjnych. Mogą jednak napotkać dodatkowe trudności podczas rozwiązywania zadań tekstowych, z których wiele jest związanych z deficytami w umiejętności czytania, takimi jak te opisane poniżej.

Przykład

Zadanie tekstowe po prawej stronie ilustruje, dlaczego uczniowie mogą mieć trudności z rozwiązaniem tego typu zadania. Oprócz nieprawidłowego rozwiązania tego zadania tekstowego z powodu błędów rzeczowych, proceduralnych lub koncepcyjnych, uczeń może mieć trudności z przyczynami związanymi z deficytami w umiejętności czytania.

• Słaba znajomość słownictwa – uczeń może nie znać tego terminu różnica.
• Ograniczone umiejętności czytania – uczeń może mieć trudności z ostatnim zdaniem zadania ze względu na jego złożoną strukturę. Dodatkowo, nie rozumie części słownictwa niezwiązanego z matematyką (np. otrzymane, zarobione ) może utrudnić uczniowi rozwiązanie problemu.
• Nieumiejętność zidentyfikowania istotnych informacji — Uczeń może skupić się na nieistotnych informacjach, takich jak rodzaj roweru lub liczba miesięcy przepracowanych przez Jonathana, i w związku z tym rozwiązać zadanie nieprawidłowo.
• Brak wcześniejszej wiedzy — Wiedza studenta na temat procesu dokonywania zakupów może być ograniczona.
• Niezdolność do przełożenia informacji na równanie matematyczne — Uczeń może mieć trudności z określeniem, które operacje wykonać na danych liczbach. Sytuacja ta może się pogorszyć w przypadku problemów obejmujących wiele kroków.

O strategii

Określanie przyczyny błędów jest procesem, w którym nauczyciele określają, dlaczego uczeń popełnia określony rodzaj błędu.

Co mówią badania i zasoby

• Zazwyczaj błędy uczniów nie są przypadkowe, lecz często wynikają z niepoprawnych algorytmów lub procedur stosowanych systematycznie (Cox, 1975; Ben-Zeev, 1998; Nelson i Powell, 2018).
• Aby pomóc uczniom poprawić ich wyniki w matematyce, nauczyciele muszą najpierw zidentyfikować i zrozumieć, dlaczego uczniowie popełniają konkretne błędy (Radatz, 1979; Yetkin, 2003; Lin i in., 2025; Lewis, 2016).
• Wiedza o tym, co myśli uczeń podczas rozwiązywania problemu, może być bogatym źródłem informacji o tym, co uczeń rozumie, a czego nie (Hunt i Little, 2014; Baldwin i Yun, 2012; Lewis i Fisher, 2018).

Pomocne strategie

Dokładne określenie przyczyny popełnienia przez ucznia określonego błędu jest istotne, ponieważ wpływa na reakcję nauczyciela na jego działania dydaktyczne. Chociaż czasami jest oczywiste, dlaczego uczeń popełnia określony rodzaj błędu, w innych przypadkach ustalenie przyczyny okazuje się trudniejsze. W takich przypadkach nauczyciel może zastosować jedną lub więcej z poniższych strategii.

Przeprowadź wywiad z uczniem — Czasami nie jest jasne, dlaczego uczeń popełnia dany rodzaj błędu. Na przykład nauczyciel może mieć trudności z rozróżnieniem błędów proceduralnych od koncepcyjnych. Z tego powodu warto poprosić ucznia o omówienie procesu rozwiązywania problemu. Nauczyciele mogą zadawać pytania ogólne, takie jak „Skąd wziąłeś/aś tę odpowiedź?”, lub zachęcać ucznia do wypowiedzi, takich jak „Pokaż mi, jak doszedłeś/aś do tej odpowiedzi”. Innym powodem, dla którego nauczyciele mogą chcieć przeprowadzić wywiad z uczniem, jest upewnienie się, że posiada on umiejętności niezbędne do rozwiązania problemu.

Obserwacja ucznia – uczeń może również przekazywać informacje w sposób niewerbalny. Może to obejmować gesty, pauzy, oznaki frustracji i monolog wewnętrzny. Nauczyciel może wykorzystać tego typu informacje, aby zidentyfikować, w którym momencie zadania problemowego uczeń doświadcza trudności lub frustracji. Mogą one również pomóc nauczycielowi określić, jaką procedurę lub zbiór zasad stosuje uczeń i dlaczego.

Szukaj wyjątków od wzorca błędu — oprócz szukania wzorców błędu, nauczyciel powinien odnotować przypadki, w których uczeń nie popełnia tego samego błędu w tym samym typie zadania. To również może być pouczające, ponieważ może wskazywać, że uczeń ma częściowe lub podstawowe zrozumienie omawianego pojęcia. Na przykład, Cammy wypełniła arkusz ćwiczeń dotyczący mnożenia liczb całkowitych przez ułamki. Wydawało się, że w większości z nich rozwiązała je źle; jednak poprawnie odpowiedziała na zadania, w których ułamek wynosił 1/2. Wydaje się to wskazywać, że chociaż Cammy teoretycznie rozumie, czym jest 1/2 całości, najprawdopodobniej nie zna procesu mnożenia liczb całkowitych przez ułamki.

Rozważania dla uczniów z trudnościami w uczeniu się

Około 5–8% uczniów wykazuje trudności w uczeniu się matematyki. Dlatego ważne jest, aby zrozumieć, że ich specyficzne różnice w uczeniu się mogą wpływać na ich zdolność uczenia się oraz prawidłowego wyboru i stosowania strategii rozwiązywania problemów matematycznych. Nauczyciele mogą zauważyć, że uczniowie z trudnościami w uczeniu się:

• Masz trudności z opanowaniem podstawowych faktów liczbowych
• Popełniają błędy obliczeniowe, nawet jeśli mają solidne zrozumienie pojęć
• Mają trudności z nawiązaniem połączenia między konkretnymi obiektami a reprezentacjami wizualnymi lub problemami abstrakcyjnymi
• Zmagania z terminologią matematyczną i językiem pisanym
• Mają deficyty wizualno-przestrzenne, które powodują trudności w wizualizacji pojęć matematycznych (choć jest to dość rzadkie)

O strategii

Rozwiązywanie wzorców błędów jest procesem nauczania skupiającym się na konkretnym błędzie ucznia.

Co mówią badania i zasoby

• Przeprowadzając analizę błędów, nauczyciel może skupić się na konkretnych nieporozumieniach lub błędach, zamiast uczyć całej umiejętności lub koncepcji od nowa (Fisher i Frey, 2012).
• Uczniowie nadal będą popełniać błędy proceduralne, jeśli nie otrzymają ukierunkowanych instrukcji, które pomogą im je wyeliminować. Samo zapewnienie większej liczby możliwości ćwiczenia rozwiązywania danego problemu zazwyczaj nie jest skuteczne (Riccomini, 2014; Lewis i Fisher, 2018; Lin i in., 2025; Nelson i Powell, 2018).
• Samo nauczenie wzoru lub kroków rozwiązywania zadania matematycznego zazwyczaj nie wystarcza, aby pomóc uczniom w zrozumieniu pojęć (Sweetland i Fogarty, 2008).
• Rozwiązywanie błędów koncepcyjnych ucznia może wymagać użycia konkretnych lub wizualnych reprezentacji, a także znacznego powtórzenia materiału. Uczniowie często używają konkretnych obiektów do rozwiązywania problemów, na które początkowo udzielili niepoprawnych odpowiedzi (Riccomini, 2014; Yetkin, 2003; Lin i in., 2025).
• Wykazano, że bez interwencji studenci nadal popełniali te same błędy rok później (Cox, 1975).

Jak radzić sobie z błędami uczniów

Po ustaleniu rodzaju błędu popełnianego przez ucznia nauczyciel może zająć się nim na jeden lub więcej z następujących sposobów.

Omów błąd ze studentem: Po przeprowadzeniu wywiadu ze studentem i przeanalizowaniu jego prac nauczyciel powinien krótko opisać błąd studenta i wyjaśnić, że będą wspólnie pracować nad jego poprawieniem.

Udzielaj skutecznych wskazówek, aby skorygować konkretny błąd ucznia: Nauczyciel powinien skupić się na konkretnym błędzie ucznia, zamiast uczyć go od nowa, jak rozwiązywać tego typu problemy w ogóle. Na przykład, jeśli błąd ucznia polega na braku przegrupowania podczas dodawania, nauczyciel powinien skupić się na tym, w którym momencie uczeń popełnia błąd. Nauczyciel musi precyzyjnie określić, w jaki sposób skupić się na błędzie i pomóc uczniowi zrozumieć, co robi nieprawidłowo. Samo powtórzenie lekcji nie gwarantuje, że uczeń zrozumie błąd i nauczy się, jak poprawnie rozwiązać zadanie.

Stosuj skuteczne strategie: Biorąc pod uwagę rodzaj błędu, nauczyciel powinien wybrać skuteczną strategię, która pomoże skorygować nieporozumienia lub błędy ucznia. Poniżej przedstawiono dwie skuteczne strategie, które nauczyciele mogą uznać za pomocne w korygowaniu niektórych – jeśli nie wszystkich – wzorców błędów.

Manipulanty

Manipulatory to obiekty, z którymi uczniowie mogą wchodzić w interakcję, aby zdobyć zrozumienie konceptualne (tj. zrozumieć procesy lub pojęcia abstrakcyjne) i rozwiązywać problemy. Manipulatory mogą być:

• Fizyczne — przykładami mogą być klocki dziesiętne lub geoboard (niewielka tablica z gwoździami, na której uczniowie rozciągają gumki, aby zgłębiać podstawowe pojęcia geometryczne)
• Wirtualne — przykłady obejmują klikalne kostki w aplikacji lub żetony liczbowe

Materiały manipulacyjne pomagają uczniowi zobrazować pojęcie matematyczne, którego próbuje się nauczyć, lub problem, który próbuje rozwiązać. Na przykład, nauczyciel może zademonstrować pojęcie ułamków, używając bloków lub pasków ułamkowych. Ważne jest, aby nauczyciel wyraźnie wskazał związek między konkretnym przedmiotem a nauczanym pojęciem abstrakcyjnym lub symbolicznym. Po zdobyciu przez ucznia podstawowego zrozumienia pojęcia matematycznego, konkretne przedmioty powinny zostać zastąpione reprezentacjami wizualnymi, takimi jak obrazy osi liczbowej lub geoboard. Celem jest, aby uczeń ostatecznie zrozumiał i zastosował pojęcie za pomocą cyfr i symboli.

Ważne jest, aby instrukcje nauczyciela były dopasowane do potrzeb ucznia. Nauczyciele powinni pamiętać, że niektórzy uczniowie będą potrzebować konkretnych przedmiotów, aby zrozumieć pojęcie, podczas gdy inni będą w stanie zrozumieć je za pomocą reprezentacji wizualnych. Ponadto niektórzy uczniowie będą potrzebować wsparcia konkretnych przedmiotów dłużej niż inni.

Wyraźna instrukcja

Instruktaż bezpośredni to ustrukturyzowana metoda nauczania, w której nauczyciele najpierw przedstawiają uczniom uzasadnienie i jasne oczekiwania dotyczące nauki umiejętności lub pojęć. Następnie nauczyciel modeluje, wspiera, zapewnia możliwości kierowanej i samodzielnej praktyki oraz zaangażowania, a także udziela informacji zwrotnej, aż uczniowie samodzielnie opanują daną umiejętność lub pojęcie.

Składniki instrukcji jawnej
Modelowanie	Nauczyciel pokazuje, jak myśleć na głos, aby zademonstrować rozwiązanie kilku przykładowych problemów. Nauczyciel przeprowadza ucznia przez więcej przykładowych problemów. Nauczyciel wskazuje na trudne aspekty problemów.
Rusztowanie	Nauczyciel układa umiejętności, które wzajemnie się uzupełniają. Nauczyciel dzieli informacje na mniejsze części. Nauczyciel podaje wskazówki. Nauczyciel zadaje indywidualne pytania, aby upewnić się, że zrozumienie jest zrozumiałe.
Praktyka pod czyimś okiem	Uczeń rozwiązuje zadania z pomocą nauczyciela lub pod okiem rówieśników. Nauczyciel monitoruje pracę ucznia. Nauczyciel oferuje pozytywne, korygujące informacje zwrotne.
Niezależna praktyka	Uczeń samodzielnie rozwiązuje zadania. Nauczyciel sprawdza wyniki pracy ucznia w ramach samodzielnej pracy.
Zaręczynowy	Nauczyciel zapewnia uczniom możliwość wypowiedzi. Uczniowie nawiązują kontakty z rówieśnikami poprzez zajęcia grupowe.
Recepcja może pozyskiwać cenny feedback od użytkowników i utrzymywać bezpośrednią komunikację dzięki funkcjom aplikacji: wiadomościom, powiadomieniom automatycznym i narzędziom wspierającym spersonalizowaną obsługę według potrzeb użytkowników.	Nauczyciel przekazuje pozytywne i konstruktywne informacje zwrotne, które są wartościowe dla uczniów. Nauczyciel modyfikuje ćwiczenia na podstawie odpowiedzi uczniów. Nauczyciel powinien w miarę możliwości natychmiast wprowadzać korekty.

Adaptacja z Bender (2009), s. 31–32

Ponowna ocena umiejętności ucznia : Po poinstruowaniu ucznia, jak poprawić błąd(y), nauczyciel powinien przeprowadzić formalną lub nieformalną ocenę, aby upewnić się, że uczeń opanował daną umiejętność lub pojęcie.

Wskazówki instruktażowe

• Sprawdź wymagane umiejętności: Upewnij się, że uczeń posiada umiejętności niezbędne do rozwiązania problemu, z którym się zmaga. Na przykład, jeśli uczeń popełnia błędy podczas dodawania liczb dwucyfrowych, nauczyciel powinien upewnić się, że zna podstawowe fakty matematyczne. Jeśli uczniowi brakuje niezbędnych umiejętności, nauczyciel powinien rozpocząć naukę właśnie w tym momencie.
• Przykłady modelowe i nieprzykładowe: Upewnij się, że modelujesz rozwiązanie co najmniej trzech do pięciu zadań tego typu, z którymi zmaga się uczeń. Dodaj co najmniej jeden przykład, który nie jest przykładem wzorca błędu, aby zapobiec nadmiernej generalizacji (tj. nieprawidłowemu zastosowaniu reguły lub wiedzy w nowych sytuacjach) i nadmiernej specjalizacji (tj. opracowaniu zbyt wąskiej definicji pojęcia lub momentu zastosowania reguły lub procedury). Na przykład, w przypadku ucznia, który nie przegrupowuje zadań podczas odejmowania, nauczyciel modelujący rozwiązanie tego typu zadania powinien uwzględnić również zadania, które nie wymagają przegrupowania.

  Przykłady i nieprzykłady

  Zadania 1 i 3 to przykłady wymagające przegrupowania, natomiast zadanie 2, które nie wymaga przegrupowania, nie jest przykładem.

  

• Błąd punktowy: Podczas modelowania i ćwiczeń z przewodnikiem, koncentruj się tylko na tym miejscu zadania, w którym uczeń popełnia błąd. Nie ma potrzeby omawiania całego zadania. Na przykład, jeśli błąd ucznia polega na braku znalezienia wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania ułamków, nauczyciel powinien jedynie zamodelować proces i wyjaśnić podstawową wiedzę koncepcyjną dotyczącą znalezienia wspólnego mianownika. Uczeń powinien zatrzymać się w tym miejscu, zamiast dokończyć zadanie, ponieważ zna już cały proces. Następnie nauczyciel powinien kontynuować w ten sam sposób pracę nad pozostałymi zadaniami.

  

  [Zatrzymaj się w tym miejscu, ponieważ zająłeś się wzorcem błędu; uczeń wie, jak dodawać ułamki]
• Zapewnij odpowiednią ilość możliwości do ćwiczeń: Podobnie jak w przypadku modelowania, przygotuj co najmniej trzy do pięciu problemów do ćwiczeń, upewniając się, że uwzględnisz w nich jeden problem, który nie jest przykładem.
• Zacznij od prostych problemów: Podczas modelowania i ćwiczeń pod okiem instruktora zacznij od prostych problemów i stopniowo przechodź do trudniejszych, w miarę jak uczeń będzie zyskiwał wiedzę na temat błędu i uczył się, jak poprawnie rozwiązać problem.
• Przenieś błąd: W miarę możliwości należy przenosić błąd, aby nie występował zawsze w tym samym miejscu. Na przykład, jeśli błąd ucznia polega na przegrupowywaniu podczas mnożenia, nauczyciel powinien uwzględnić przykłady wymagające przegrupowania w kolumnie jedności i dziesiątek, zamiast zawsze wymagać, aby przegrupowanie miało miejsce w kolumnie jedności.

Tło

Scenariusz

Pani Moreno, nauczycielka matematyki w siódmej klasie, jest zaniepokojona wynikami Daltona. Ponieważ Dalton do tej pory radził sobie dobrze w jej klasie, uważa, że ​​ma on solidne podstawy matematyczne. Jednak od czasu rozpoczęcia lekcji mnożenia ułamków dziesiętnych, Dalton słabo radził sobie z zadaniami domowymi. Pani Moreno postanawia przeprowadzić analizę błędów w jego ostatnim zadaniu domowym, aby określić, jakiego rodzaju błąd popełnia.

Możliwe strategie

• Zbieranie danych
• Identyfikacja wzorców błędów

Cesja

1. Czytaj Wprowadzenie.
2. Przeczytaj Arkusze STAR, aby poznać możliwe strategie wymienione powyżej.
3. Oceń zadanie Daltona poniżej. Dla ułatwienia oceny dołączono klucz odpowiedzi.
4. Przeanalizuj oceniony arkusz i określ wzorzec błędów Daltona.

Tło

Scenariusz

Madison jest bystrą i energiczną uczennicą trzeciej klasy ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Jej klasa właśnie skończyła rozdział o pieniądzach, a jej nauczycielka, pani Brooks, była zadowolona z wyników Madison. Pani Brooks uważa, że ​​sukces Madison wynikał w dużej mierze z faktu, że wykorzystała zabawkowe pieniądze do nauczania pojęć związanych z pieniędzmi. Jak zauważono w indywidualnym programie edukacyjnym (IEP) Madison, łatwiej przyswaja ona pojęcia, gdy używa konkretnych przedmiotów (tj. przedmiotów manipulacyjnych, takich jak monety i banknoty dolarowe). Aby wykorzystać ten sukces, pani Brooks ponownie użyła konkretnych przedmiotów – w tym przypadku tekturowych zegarów z ruchomymi wskazówkami – do nauczania rozdziału o odmierzaniu czasu. Klasa jest teraz w połowie tego rozdziału i ku rozczarowaniu pani Brooks, Madison wydaje się mieć problemy z tym pojęciem. W związku z tym pani Brooks postanawia przeprowadzić analizę błędów w najnowszym quizie Madison.

Możliwe strategie

• Zbieranie danych
• Identyfikacja wzorców błędów

Cesja

1. Czytaj Wprowadzenie.
2. Przeczytaj Arkusze STAR, aby poznać możliwe strategie wymienione powyżej.
3. Oceń quiz Madisona, zaznaczając każdą błędną odpowiedź.
4. Przeanalizuj oceniony quiz i określ wzorzec błędów Madisona.

Tło

Scenariusz

Shayla i jej rodzina właśnie przeprowadzili się do nowego okręgu szkolnego. Jej klasa matematyczna uczy się obecnie dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach. Nauczyciel matematyki Shayli, pan Holden, jest zaniepokojony, ponieważ Shayla słabo radzi sobie z zadaniami i sprawdzianami. Zanim będzie mógł udzielić wskazówek dotyczących deficytów umiejętności Shayli lub nieporozumień pojęciowych, musi ustalić, dlaczego ma trudności. Z tego powodu postanawia przeprowadzić analizę błędów, aby dowiedzieć się, jakie błędy popełnia.

Możliwe strategie

• Zbieranie danych
• Identyfikacja wzorców błędów
• Zadania tekstowe: dodatkowe wzorce błędów

Cesja

1. Czytaj Wprowadzenie.
2. Przeczytaj Arkusze STAR, aby poznać możliwe strategie wymienione powyżej.
3. Oceń poniższe zadanie Shayli, zaznaczając każdą błędną cyfrę.
4. Przeanalizuj ocenione zadanie i omów co najmniej trzy możliwe przyczyny wzorca błędów Shayli.

Tło