Кейсы

Математика: выявление и устранение ошибок учащихся

Введение

Нередко ученики допускают ошибки при решении математических задач. Иногда это небрежные ошибки, а иногда — следствие концептуальных недоразумений или недостатка навыков. Если ученики постоянно испытывают трудности или плохо справляются с математическими заданиями, преподаватели могут рассмотреть возможность проведения анализа ошибок. анализ ошибок Это тип диагностической оценки, который может помочь учителю определить, какие ошибки совершает ученик и почему. Более конкретно, это процесс выявления и анализа ошибок ученика для определения наличия закономерности ошибок — то есть, совершает ли ученик одни и те же ошибки постоянно. Если закономерность существует, учитель может выявить неправильные представления или пробелы в навыках ученика и впоследствии разработать и реализовать обучение, направленное на удовлетворение конкретных потребностей этого ученика.

Исследования в области анализа ошибок не являются чем-то новым: ученые по всему миру проводят исследования по этой теме уже несколько десятилетий. Анализ ошибок доказал свою эффективность в выявлении закономерностей математических ошибок у любого ученика, независимо от наличия или отсутствия инвалидности, испытывающего трудности в математике.

Этапы проведения анализа ошибок

Анализ ошибок включает в себя следующие этапы:

Шаг 1. Сбор данных: Попросите ученика решить как минимум 3-5 задач одного типа (например, умножение многозначных чисел).

Шаг 2. Выявление закономерностей ошибок: Проанализируйте решения студентов, обращая внимание на повторяющиеся ошибки (например, ошибки, связанные с перегруппировкой).

Шаг 3. Определите причины ошибок: Выясните, почему ученик допускает эти ошибки, изучив используемые им методы решения задач или попросив объяснить свою логику.

Шаг 4. Используйте данные для выявления закономерностей ошибок: Определите, какая стратегия обучения лучше всего поможет устранить пробелы в знаниях или недопонимание у ученика.

Каждый пример из практики включает в себя несколько таблиц STAR и конкретных случаев.

О стратегии

Сбор данных Анализ ошибок предполагает, например, просьбу к ученику заполнить рабочий лист, пройти тест или выполнить задание по отслеживанию прогресса, содержащее ряд задач одного типа, или попросить учеников объяснить ход своих мыслей и процессов.

Что говорят исследования и источники

• Анализ ошибок — это одна из форм диагностической оценки. Собранные данные могут помочь учителям понять... почему Учащиеся испытывают трудности с выполнением определенных заданий и согласованием обучения с конкретными потребностями учащихся (Национальный центр интенсивного вмешательства, без даты);
  Кингсдорф и Кравец, 2014 г.; Хван и Риккомини, 2021 г.; Льюис, 2016 г.; Льюис и др., 2020; Нельсон и Пауэлл, 2018).
• Данные для анализа ошибок могут быть собраны с использованием формальных методов (например, контрольная работа по главе, стандартизированный тест) или неформальных методов (например, домашнее задание, рабочая тетрадь на уроке, интервью) (Riccomini, 2014; Lewis, 2016; Lewis & Fisher, 2018).
• Для выявления закономерностей ошибок, инструмент сбора данных должен содержать как минимум от трех до пяти задач одного типа (Special Connections, nd).
• К распространенным типам ошибок относятся использование неправильной операции, неверные вычисления (например, основные факты, перегруппировка), процедурные ошибки (например, забывание перегруппировки, выполнение неправильной операции) и визуально-пространственные ошибки (например, выравнивание столбцов, закономерности, чтение графиков). (Nelson & Powell, 2018; Lin et al., 2025; Rong & Monnen, 2022; Nelson & Powell, 2018).

Определение источников данных

Для проведения анализа ошибок в математике учителю необходимо сначала собрать данные. Это можно сделать, используя различные материалы, выполненные учеником самостоятельно (т.е. результаты работы ученика). К ним относятся рабочие листы, инструменты отслеживания прогресса, задания, контрольные работы и тесты по главам. Также можно использовать домашние задания, если учитель уверен, что ученик выполнил их самостоятельно. Независимо от типа используемых результатов работы ученика, они должны содержать как минимум три-пять задач одного типа. Этого достаточно для определения закономерностей ошибок.

Счет

Чтобы лучше понять, почему у учеников возникают трудности, учителю следует проверять работы учеников. каждая неверная цифра В отличие от простого пометки всего ответа как неверного, оценка каждой цифры в ответе позволяет учителю быстрее и четче выявить ошибку ученика и определить, совершает ли он эту ошибку постоянно в нескольких задачах. Например, взгляните на приведенный ниже рабочий лист. Отмечая неверные цифры, учитель может определить, что, хотя ученик, кажется, понимает основные математические факты, он не переносит «1» в разряд десятков в своих задачах на сложение и умножение.

Примечание: Отметка каждой неверной цифры не всегда позволяет выявить закономерность ошибки. Просмотрите листы STAR. Выявление закономерностей ошибок в текстовых задачах: дополнительные закономерности ошибок. и Определение причин ошибок чтобы узнать больше о том, как выявлять различные типы ошибок, которые допускают учащиеся.

О стратегии

Выявление закономерностей ошибок Речь идёт об определении типа(ов) ошибок, которые допускает ученик при решении математических задач. Существует три типа ошибок:

1. Фактические ошибки — ошибки, возникающие из-за недостатка фактической информации (например, неправильное определение цифр, ошибки при подсчете).
2. Процедурные ошибки — ошибки, возникающие из-за неправильного выполнения шагов в математическом процессе (например, отсутствие перегруппировки, неправильное расположение десятичных знаков).
3. Концептуальные ошибки — ошибки, возникающие из-за неправильных представлений или ошибочного понимания основных принципов и идей, связанных с математической задачей (например, неправильное понимание позиционной системы счисления, неверное применение правил к новым задачам).

Что говорят исследования и источники

• Три-пять ошибок при решении задач определенного типа составляют определенный тип ошибок (Howell, Fox, & Morehead, 1993; Radatz, 1979).
• Как правило, математические ошибки учащихся делятся на три основные категории: фактические, процедурные и концептуальные. Каждая из этих ошибок связана либо с недостатком знаний у ученика, либо с его непониманием (Fisher & Frey, 2012; Riccomini, 2014; Lin et al., 2025).
• Процедурные ошибки являются наиболее распространенным типом ошибок (Риккомини, 2014; Нельсон и Пауэлл, 2018).
• Поскольку концептуальные и процедурные знания часто пересекаются, трудно отличить концептуальные ошибки от процедурных (Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali, 2001; Riccomini, 2014).
• Не каждая ошибка является результатом недостатка знаний или навыков. Иногда студент совершает ошибку из-за усталости или отвлечения внимания (то есть, из-за небрежности) (Фишер и Фрей, 2012).

Распространенные фактические ошибки

Фактические ошибки Эти ошибки возникают, когда у студентов отсутствует достоверная информация. Ознакомьтесь с таблицей ниже, чтобы узнать о некоторых распространенных фактических ошибках, допускаемых студентами.

Фактическая ошибка	Примеры
Не освоил основные числовые факты. Ученик не знает основных математических фактов и допускает ошибки при сложении, вычитании, умножении или делении однозначных чисел.	3 + 2 = 7 7 − 4 = 2 2 × 3 = 7 8 ÷ 4 = 3
Неправильно распознает знаки	2 × 3 = 5 (Ученик определяет знак умножения как знак сложения.) 8 ÷ 4 = 4 (Ученик определяет знак деления как знак минус.)
Неправильно распознает цифры	Ученик принимает цифру 5 за цифру 2.
Допускает ошибки при подсчете.	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 (Ученик пропускает 6.)
Не знает математических терминов (лексики).	Студент не понимает значения таких терминов, как числитель, знаменатель, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное или длина окружности.
Не знает математических формул.	Ученик не знает формулу для вычисления площади круга.

Распространенные процедурные ошибки

Процедурные знания — это понимание того, какие шаги или процедуры необходимы для решения проблемы. Процедурные ошибки Ошибки возникают, когда ученик неправильно применяет правило или алгоритм (т. е. формулу или пошаговую процедуру решения задачи). Ознакомьтесь с таблицей ниже, чтобы узнать больше о некоторых распространенных процедурных ошибках.

Процедурная ошибка	Примеры
Ошибки перегруппировки
Забывает перегруппироваться Ученик забывает перегруппировать значения при сложении, умножении или вычитании.	Пример 1: Ученик правильно складывает 7 + 4, но не перегруппирует одну группу из 10 в разряд десятков. 77 + 54 121 Пример 2: Ученик не перегруппировывает одну группу из 10 в разряде десятков, а вместо этого вычитает меньшее число (3) из большего числа (6) в разряде единиц. 123 -76 53 Пример 3: После умножения 2 × 6 ученик не смог перегруппировать одну группу из 10 чисел в разряде десятков. 56 х 2 102
Перегруппировка вокруг нуля Когда в задаче в уменьшаемом (главном числе) содержится один или несколько нулей, ученик не знает, что делать.	Ученик вычитает 0 из 2 вместо перегруппировки. 304 -21 323
Выполняет некорректную операцию. Несмотря на то, что ученики умеют правильно распознавать знаки (например, сложение, вычитание), они часто вычитают, когда нужно складывать, или наоборот. Однако они также могут совершать и другие неправильные действия, например, умножать вместо сложения.	Пример 1: Ученик складывает, а не вычитает. 234 -45 279 Пример 2: Ученик умножает, а не складывает. 3 + 2 6
Ошибки дроби
Не удаётся найти общий знаменатель при сложении и вычитании дробей.	Учащийся складывает числители, а затем знаменатели, не находя общего знаменателя. 3       4  + 1       3  = 4       7
Не удается выполнить обратное умножение при делении дробей.	Ученик не переворачивает 2 в 1/2 перед умножением, чтобы получить правильный ответ 1/4. 1       2   ÷   2 = 1       2   x   2       1   =   2       2   =   1
Не изменяет знаменатель при умножении дробей.	Ученик не умножает знаменатели, чтобы получить правильный ответ. 2       8   x   5       8  = 10       8
Неправильно преобразует смешанное число в неправильную дробь.	Чтобы найти числитель, ученик складывает 2 + 1 + 1, получая 4, вместо того, чтобы следовать правильной процедуре (2 × 1 + 1 = 3). 1 1       2  = 4       2
Десятичные ошибки
Не выравнивает десятичные точки при сложении или вычитании. Ученик выравнивает числа, не обращая внимания на расположение десятичной точки.	Ученик неправильно выравнивает десятичные точки. В данном случае 4 и 2 находятся в разряде десятых и должны быть выровнены. 120.4 + 63.21 75.25
При умножении или делении десятичная запятая не ставится в нужное место. Ученик не считает и не складывает количество десятичных знаков в каждом множителе, чтобы определить количество десятичных знаков в произведении. Примечание: Это также может быть концептуальная ошибка, связанная с позиционной системой счисления.	Как и при сложении или вычитании, ученик выравнивает десятичную запятую в произведении с десятичными запятыми в множителях. Ученик не считает и не складывает количество десятичных знаков в каждом множителе, чтобы определить количество десятичных знаков в произведении. 3.4 х 2 6.8

Распространенные концептуальные ошибки

Концептуальные знания — это понимание лежащих в их основе идей и принципов, а также умение распознавать ситуации, когда их следует применять. Они также включают в себя понимание взаимосвязей между идеями и принципами. Концептуальные ошибки Ошибки возникают, когда у ученика имеются неверные представления или недостаточное понимание основных принципов и идей, связанных с данной математической задачей. Изучите таблицу ниже, чтобы узнать больше о некоторых распространенных концептуальных ошибках.

Концептуальная ошибка	Примеры
Неправильно понимает разрядность чисел. Ученик не понимает разрядность чисел и записывает ответ так, что числа оказываются не в соответствующих разрядах.	Пример 1: Ученик складывает все числа вместе (6 + 7 + 4 = 17), не понимая значений разрядов единиц и десятков. 67 + 4 17 Пример 2: Ученик записывает ответ, перевернув числа, игнорируя соответствующее разрядное положение цифр. 10 + 9 91 Пример 3: При представлении числа, состоящего более чем из двух цифр, у ученика отсутствует концептуальное понимание разрядного значения. Запишите следующее числом: семьдесят шесть девятьсот семьдесят четыре шесть тысяч шестьсот двадцать четыре Ответ студента: 76 90074 600060024
Обобщает слишком сильно Из-за недостаточного понимания концепций ученик неправильно применяет правила или знания к новым ситуациям.	Пример 1: Независимо от того, находится ли большее число в уменьшаемом (верхнем числе) или вычитаемом (нижнем числе), ученик всегда вычитает число, которое меньше большего числа, как это делается при вычитании однозначных чисел. 321 -245 124 Пример 2: Расположите следующие дроби в порядке от наименьшей к наибольшей. 77       486 1       351 12       200 Не понимая взаимосвязи между числителем и знаменателем (то есть, чем больше знаменатель, тем меньше дробная часть), ученик располагает дроби в следующем порядке. 12       200 1       351 77       486
Избыточная специализация Из-за недостаточного понимания концепций студент формирует слишком узкое определение того или иного понятия или того, когда следует применять то или иное правило или алгоритм.	Какие из треугольников ниже являются прямоугольными? Сопоставление прямоугольного треугольника только с теми, которые имеют ту же ориентацию, что и... aстудент выбирает a.

О стратегии

A проблема со словами В задании представлен гипотетический сценарий из реальной жизни, требующий от ученика применения математических знаний и рассуждений для нахождения решения.

Что говорят исследования и источники

• Учащиеся считают вычислительные упражнения более сложными, когда они представлены в виде текстовых задач, а не числовых выражений (например, 3 + 2 =) (Шерман, Ричардсон и Ярд, 2009).
• При решении текстовых задач учащиеся чаще всего испытывают трудности с пониманием того, что от них требуется. В частности, учащиеся могут не распознавать тип задачи и, следовательно, не знать, какую стратегию использовать (Jitendra et al., 2007; Sherman, Richardson, & Yard, 2009; Powell, 2011; Shin & Bryant, 2015; Lien et al., 2020).
• Для решения текстовых задач требуется ряд навыков (например, чтение текста, понимание текста, перевод текста в числовое выражение, определение правильного алгоритма). В результате многие ученики, особенно те, у кого есть трудности с математикой и чтением, считают текстовые задачи сложными (Powell, Fuchs, Fuchs, Cirino, & Fletcher, 2009; Reys, Lindquist, Lambdin, & Smith, 2015; Lien et al., 2020).
• Задачи на определение словесной формы представляют особую трудность для учащихся с трудностями в обучении (Кравец, 2014; Шин и Брайант, 2015).

Типичные трудности, связанные с решением текстовых задач

Ученик может неправильно решать текстовые задачи из-за фактических, процедурных или концептуальных ошибок. Однако при решении текстовых задач ученик может столкнуться и с дополнительными трудностями, многие из которых связаны с недостатками в навыках чтения, например, описанными ниже.

Пример

Приведенная справа задача иллюстрирует причины, по которым у учащихся могут возникать трудности с решением задач такого типа. Помимо неправильного решения этой задачи из-за фактических, процедурных или концептуальных ошибок, трудности могут быть связаны с недостатками в навыках чтения.

• Недостаток словарного запаса — студент может быть незнаком с данным термином. разница.
• Ограниченные навыки чтения — ученик может испытывать трудности с последним предложением задачи из-за его сложной структуры. Кроме того, возможно непонимание некоторых нематематических терминов (например, полученный, заработанный ) может помешать студенту решить задачу.
• Неспособность выявлять важную информацию — Ученик может обращать внимание на нерелевантную информацию, например, на тип велосипеда или количество месяцев, в течение которых работал Джонатан, и, следовательно, неправильно решать задачу.
• Недостаток предварительных знаний — Студент может обладать ограниченными знаниями о процессе совершения покупок.
• Неспособность перевести информацию в математическое уравнение — Учащийся может испытывать трудности с определением того, какие операции следует выполнять с какими числами. Эта ситуация может усугубиться в случаях, когда задачи состоят из нескольких шагов.

О стратегии

Определение причин ошибок Это процесс, посредством которого учителя определяют, почему ученик совершает тот или иной тип ошибки.

Что говорят исследования и источники

• Как правило, ошибки студентов не случайны; вместо этого они часто основаны на неправильно применяемых алгоритмах или процедурах (Cox, 1975; Ben-Zeev, 1998; Nelson & Powell, 2018).
• Чтобы помочь учащимся улучшить свои математические результаты, учителя должны сначала определить и понять, почему учащиеся допускают те или иные ошибки (Радац, 1979; Йеткин, 2003; Лин и др., 2025; Льюис, 2016).
• Знание того, о чем думает ученик при решении задачи, может быть богатым источником информации о том, что он понимает, а что нет (Hunt & Little, 2014; Baldwin & Yun, 2012; Lewis & Fisher, 2018).

Полезные стратегии

Точное определение причин, по которым ученик совершает ту или иную ошибку, важно, поскольку оно влияет на педагогическую реакцию учителя. Хотя иногда причина ошибки очевидна, в других случаях определить причину оказывается сложнее. В таких случаях учитель может использовать одну или несколько из следующих стратегий.

Провести интервью со студентом— Иногда бывает непонятно, почему ученик совершает тот или иной тип ошибки. Например, учителю может быть сложно отличить процедурные ошибки от концептуальных. Поэтому может быть полезно попросить ученика рассказать о процессе решения задачи. Учителя могут задавать общие вопросы, такие как «Как ты пришел к этому ответу?», или подсказывать ученику, например: «Покажи, как ты получил этот ответ». Еще одна причина, по которой учителя могут захотеть побеседовать с учеником, — убедиться, что у него есть необходимые навыки для решения задачи.

Наблюдайте за учеником.—Ученик также может передавать информацию невербальными способами. Это может включать жесты, паузы, признаки разочарования и внутренний диалог. Учитель может использовать информацию такого типа, чтобы определить, на каком этапе решения задачи ученик испытывает трудности или разочарование. Это также может помочь учителю определить, какую процедуру или набор правил применяет ученик и почему.

Ищите исключения из шаблона ошибок.—Помимо выявления закономерностей в ошибках, учителю следует отмечать случаи, когда ученик не допускает одних и тех же ошибок в задачах одного и того же типа. Это тоже может быть информативно, поскольку может указывать на частичное или базовое понимание учеником изучаемой концепции. Например, Кэмми выполнила задание по умножению целых чисел на дроби. Она, кажется, допустила большинство ошибок; однако она правильно ответила на задачи, в которых дробь была 1/2. Это, по-видимому, указывает на то, что, хотя Кэмми концептуально понимает, что такое 1/2 от целого, она, скорее всего, не знает процесса умножения целых чисел на дроби.

Особенности обучения учащихся с трудностями в обучении.

Примерно 5–8% учащихся имеют трудности в изучении математики. Поэтому важно понимать, что их уникальные особенности обучения могут влиять на их способность к обучению, а также на правильный выбор и применение стратегий решения математических задач. Учителя могут заметить, что учащиеся с трудностями в обучении:

• Испытываю трудности с освоением основных числовых фактов.
• Они допускают вычислительные ошибки, даже если обладают глубоким пониманием концептуального процесса.
• Испытываете трудности с установлением связи между конкретными объектами и визуальными представлениями или абстрактными проблемами?
• Испытываю трудности с математической терминологией и письменным языком.
• Имеются нарушения зрительно-пространственного восприятия, которые приводят к трудностям в визуализации математических понятий (хотя это довольно редкое явление).

О стратегии

Устранение шаблонов ошибок Это процесс обучения, который фокусируется на конкретной ошибке ученика.

Что говорят исследования и источники

• Проведя анализ ошибок, учитель может выявить конкретные недоразумения или просчеты, вместо того чтобы заново объяснять весь навык или концепцию (Фишер и Фрей, 2012).
• Студенты будут продолжать совершать процедурные ошибки, если им не будет предоставлено целенаправленное обучение для исправления этих ошибок. Простое предоставление большего количества возможностей для практики решения данной задачи, как правило, неэффективно (Риккомини, 2014; Льюис и Фишер, 2018; Лин и др., 2025; Нельсон и Пауэлл, 2018).
• Простое объяснение формулы или шагов решения математической задачи, как правило, недостаточно для того, чтобы помочь учащимся усвоить концептуальное понимание (Sweetland & Fogarty, 2008).
• Для исправления концептуальных ошибок учащихся может потребоваться использование конкретных или визуальных представлений, а также значительное количество повторного обучения. Учащиеся часто могут использовать конкретные предметы для решения задач, на которые они изначально ответили неправильно (Риккомини, 2014; Йеткин, 2003; Лин и др., 2025).
• Без вмешательства, как показали исследования, студенты продолжают применять те же самые модели ошибок и спустя год (Кокс, 1975).

Как исправлять ошибки учащихся

Определив тип ошибки, которую допускает ученик, учитель может исправить её одним или несколькими из следующих способов.

Обсудите ошибку со студентом: После того как учитель побеседовал с учеником и проверил его работы, он должен кратко описать ошибку ученика и объяснить, что они будут работать вместе над ее исправлением.

Обеспечьте эффективное обучение для исправления конкретной ошибки ученика: Учитель должен сосредоточиться на конкретной ошибке ученика, а не повторять общие правила решения подобных задач. Например, если ошибка ученика связана с тем, что он не перегруппировался при сложении, учитель должен сосредоточиться на том, на каком именно этапе процесса ученик допускает ошибку. Учитель должен точно указать на ошибку и помочь ученику понять, что он делает неправильно. Простое повторение урока не гарантирует, что ученик поймет ошибку и как правильно решить задачу.

Используйте эффективные стратегии: Учитывая тип ошибки, учитель должен выбрать эффективную стратегию, которая поможет исправить непонимание или просчеты ученика. Ниже приведены две эффективные стратегии, которые могут оказаться полезными для учителей в борьбе с некоторыми — если не со всеми — типами ошибок.

манипулятивы

Наглядные пособия — это предметы, с которыми учащиеся могут взаимодействовать для получения знаний. концептуальное понимание (т.е., понимать процессы или абстрактные понятия) и решать проблемы. В качестве наглядных пособий могут использоваться:

• В качестве примеров можно привести физическую модель, например, десятичную систему счисления или геоборд (небольшая доска с гвоздями, на которой ученики натягивают резинки, чтобы изучать различные основные геометрические понятия).
• Виртуальные — например, игральные кости с возможностью нажатия в приложении или фишки с целочисленными значениями.

Наглядные пособия помогают ученику наглядно представить изучаемую математическую идею или решить задачу. Например, учитель может продемонстрировать понятие дробей, используя блоки или полоски с дробями. Важно, чтобы учитель четко показал связь между конкретным предметом и изучаемым абстрактным или символическим понятием. После того как ученик получит базовое понимание математической концепции, конкретные предметы следует заменить визуальными представлениями, такими как изображения числовой прямой или геоборда. Цель состоит в том, чтобы ученик в конечном итоге понял и применил эту концепцию с помощью цифр и символов.

Важно, чтобы методы обучения учителя соответствовали потребностям ученика. Учителям следует помнить, что некоторым ученикам для понимания концепции потребуются конкретные предметы, в то время как другие смогут понять концепцию, используя визуальные представления. Кроме того, некоторым ученикам потребуется больше времени для использования конкретных предметов, чем другим.

Явная инструкция

Эксплицитное обучение — это структурированный метод обучения, при котором педагоги сначала объясняют учащимся обоснование и четко определяют ожидания относительно освоения навыков или концепций. Затем педагог демонстрирует примеры, оказывает поддержку, предоставляет возможности для управляемой и самостоятельной практики, а также вовлечения учащихся в процесс обучения и дает обратную связь до тех пор, пока учащиеся самостоятельно не освоят навык или концепцию.

Компоненты явных инструкций
моделирование	Учитель моделирует размышления вслух, демонстрируя решение нескольких примеров задач. Учитель знакомит ученика с дополнительными примерами задач. Учитель указывает на трудные аспекты задач.
строительные леса	Учитель выстраивает последовательность навыков, которые последовательно дополняют друг друга. Учитель разбивает информацию на более мелкие части. Учитель дает подсказки. Учитель задает индивидуальные вопросы, чтобы убедиться в понимании материала.
Управляемая практика	Учащийся решает задачи с помощью учителя или руководства однокурсников. Преподаватель контролирует работу ученика. Учитель дает положительную корректирующую обратную связь.
Независимая практика	Учащийся решает задачи самостоятельно. Преподаватель проверяет успеваемость студентов по самостоятельной работе.
Вовлеченность	Учитель предоставляет ученикам возможность высказать свое мнение. Учащиеся взаимодействуют со сверстниками посредством групповых занятий.
Обратная связь	Учитель дает позитивную и конструктивную обратную связь, которая полезна для учеников. Учитель корректирует задания на основе ответов учеников. Учитель, по возможности, незамедлительно вносит исправления.

Адаптировано из работы Бендера (2009), стр. 31–32.

Переоцените навыки учащихся.После предоставления инструкций по исправлению ошибок ученика, учитель должен провести формальную или неформальную оценку, чтобы убедиться, что ученик освоил соответствующий навык или концепцию.

Советы по обучению

• Проверьте наличие необходимых навыков: Убедитесь, что у ученика есть необходимые навыки для решения задачи, с которой он испытывает трудности. Например, если ученик допускает ошибки при сложении двузначных чисел, учитель должен убедиться, что ученик знает основные математические факты. Если у ученика отсутствуют необходимые навыки, учитель должен начать обучение с этого момента.
• Примеры и контрпримеры: Обязательно продемонстрируйте решение как минимум трех-пяти задач того типа, с которыми у ученика возникают трудности. Добавьте хотя бы один пример, не являющийся примером подобной ошибки, чтобы предотвратить чрезмерное обобщение (т.е. неправильное применение правила или знаний к новым ситуациям) и чрезмерную специализацию (т.е. разработку слишком узкого определения понятия или того, когда следует применять правило или процедуру). Например, в случае ученика, который не перегруппировывается при вычитании, учитель, демонстрирующий решение задач такого типа, должен также включить задачи, не требующие перегруппировки.

  Примеры и контрпримеры

  Задачи 1 и 3 являются примерами, требующими перегруппировки, тогда как задача 2, не требующая перегруппировки, не является примером.

  

• Точная ошибка: В ходе моделирования и управляемой практики следует сосредотачиваться только на том месте задачи, где ученик допускает ошибку. Нет необходимости разбирать всю задачу целиком. Например, если ученик допускает ошибку при сложении и вычитании дробей, учитель должен лишь смоделировать процесс и объяснить базовые концептуальные знания о нахождении общего знаменателя. Ученик остановится на этом этапе, а не будет завершать задачу, поскольку он уже знает дальнейший процесс. Затем учитель должен продолжить работу в том же порядке с оставшимися задачами.

  

  [На этом этапе следует остановиться, поскольку вы рассмотрели закономерность ошибок; ученик знает, как складывать дроби]
• Предоставьте ample возможности для практики: Как и в случае с моделированием, предложите как минимум три-пять задач для самостоятельной практики, обязательно включив в них один неслучайный пример.
• Начните с простых задач: В ходе моделирования и управляемой практики начинайте с простых задач и постепенно переходите к более сложным по мере того, как ученик понимает, в чем заключается ошибка и как правильно решить задачу.
• Переместите ошибку в нужное место: По возможности, перемещайте ошибку так, чтобы она не всегда возникала в одном и том же месте. Например, если ошибка ученика заключается в перегруппировке при умножении, учитель должен включать примеры, требующие перегруппировки в разряде единиц и десятков, вместо того, чтобы всегда требовать перегруппировки в разряде единиц.

Предыстория

Сценарий

Учительница математики в седьмом классе, миссис Морено, обеспокоена успеваемостью Далтона. Поскольку до этого момента Далтон хорошо учился в её классе, она считает, что у него прочные базовые математические навыки. Однако с начала уроков по умножению десятичных дробей Далтон стал плохо справляться с самостоятельными заданиями. Миссис Морено решает провести анализ ошибок в его последнем домашнем задании, чтобы определить, какие именно ошибки он допускает.

Возможные стратегии

• Сбор данных
• Выявление закономерностей ошибок

Назначение

1. Читать Введение.
2. Ознакомьтесь с листами STAR, чтобы узнать о возможных стратегиях, перечисленных выше.
3. Оцените выполненное Далтоном задание ниже. Для удобства оценки прилагается ключ к ответам.
4. Изучите заполненный бланк и определите характер ошибок Далтона.

Предыстория

Сценарий

Мэдисон — способная и энергичная третьеклассница со специфическими трудностями в обучении математике. Её класс только что закончил главу о деньгах, и учительница, мисс Брукс, осталась довольна успехами Мэдисон. Мисс Брукс считает, что успех Мэдисон во многом объясняется использованием игрушечных денег для обучения понятиям, связанным с деньгами. Как отмечается в индивидуальной образовательной программе (ИОП) Мэдисон, ей легче усваивать понятия, используя наглядные предметы (например, игрушечные монеты и долларовые купюры). В попытке развить этот успех, мисс Брукс снова использовала наглядные предметы — в данном случае, картонные часы с подвижными стрелками — для обучения главе о времени. Сейчас класс прошёл половину этой главы, и, к разочарованию мисс Брукс, Мэдисон, похоже, испытывает трудности с этим понятием. В связи с этим мисс Брукс решает провести анализ ошибок в последнем тесте Мэдисон.

Возможные стратегии

• Сбор данных
• Выявление закономерностей ошибок

Назначение

1. Читать Введение.
2. Ознакомьтесь с листами STAR, чтобы узнать о возможных стратегиях, перечисленных выше.
3. Оцените результаты теста Мэдисон, отметив каждый неверный ответ.
4. Проанализируйте результаты теста и определите характер ошибок Мэдисон.

Предыстория

Сценарий

Шейла и её семья недавно переехали в новый школьный округ. На уроках математики они изучают сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Учитель математики Шейлы, мистер Холден, обеспокоен тем, что Шейла плохо справляется с заданиями и контрольными работами. Прежде чем он сможет помочь Шейле с недостатками в знаниях или концептуальными непониманиями, ему необходимо выяснить, почему у неё возникают трудности. Поэтому он решает провести анализ ошибок, чтобы определить, какие именно ошибки она допускает.

Возможные стратегии

• Сбор данных
• Выявление закономерностей ошибок
• Текстовые задачи: дополнительные типы ошибок

Назначение

1. Читать Введение.
2. Ознакомьтесь с листами STAR, чтобы узнать о возможных стратегиях, перечисленных выше.
3. Оцените задание Шайлы, отметив каждую неверную цифру.
4. Проанализируйте оцененное задание и обсудите как минимум три возможные причины ошибок, допущенных Шайлой.

Предыстория