Welke evidence-based wiskundepraktijken kunnen leraren gebruiken?
Pagina 5: Visuele representaties
Nog een op bewijs gebaseerde strategie om studenten te helpen abstracte wiskundige concepten te leren en problemen op te lossen, is het gebruik van visuele representatiesMeer dan alleen een afbeelding of een gedetailleerde illustratie, een visuele representatie – vaak aangeduid als een schematische weergave or schematisch diagram—Een nauwkeurige weergave van de wiskundige grootheden en relaties van een gegeven probleem. Het doel van deze afbeelding is om het begrip van een leerling van het probleem te weerspiegelen en haar te helpen het correct op te lossen. Op de foto rechts gebruikt een leerling bijvoorbeeld een visuele weergave – hier een cirkeldiagram – om te leren over gelijkwaardige breuken.. Hoewel leraren deze strategie al in de beginjaren toepassen om leerlingen te helpen de basis van wiskunde te leren, blijven leerlingen met leermoeilijkheden en problemen met wiskunde deze strategie vaak niet zelfstandig gebruiken om problemen op te lossen.
Onderzoek wijst uit
- Leerlingen die accurate visuele representaties gebruiken, hebben zes keer meer kans om wiskundeopgaven correct op te lossen dan leerlingen die ze niet gebruiken. Leerlingen die onnauwkeurige visuele representaties gebruiken, hebben echter minder kans om wiskundeopgaven correct op te lossen dan leerlingen die helemaal geen visuele representaties gebruiken.
(Boonen, van Wesel, Jolles, & van der Schoot, 2014) - Leerlingen met een leerstoornis (LD) creëren vaak geen accurate visuele representaties en gebruiken deze niet strategisch om problemen op te lossen. Door leerlingen te leren een visuele representatie systematisch te gebruiken om woordproblemen op te lossen, zijn de rekenprestaties van leerlingen met een leerstoornis aanzienlijk verbeterd.
(van Garderen, Scheuermann, & Jackson, 2012; van Garderen, Scheuermann, & Poch, 2014) - Leerlingen die visuele representaties gebruiken om woordproblemen op te lossen, lossen de problemen waarschijnlijk nauwkeuriger op. Dit gold evenzeer voor leerlingen met leerproblemen, die laag presteerden of gemiddeld presteerden.
(Krawec, 2014)
Visuele representaties zijn flexibel; ze kunnen op alle niveaus en voor alle soorten wiskundige problemen worden gebruikt. Leraren kunnen ze gebruiken om wiskundige feiten te onderwijzen en leerlingen om wiskundige inhoud te leren. Visuele representaties kunnen verschillende vormen aannemen. Klik op de onderstaande links om enkele van de meest gebruikte visuele representaties door leraren en leerlingen te bekijken.
Hoe past deze praktijk in het plaatje?
High-Leverage Practice (HLP)
- HLP15: Zorg voor steigerondersteuning
CCSSM: Normen voor Wiskundige Praktijk
- MP1: Problemen begrijpen en volharden in het oplossen ervan.
Definitie: Een rechte lijn die de volgorde en de relatie tussen getallen weergeeft.
gemeenschappelijk gebruik: optellen, aftrekken, tellen
Definitie: Een balk verdeeld in rechthoeken die nauwkeurig de in de opgave genoemde hoeveelheden weergeven.
gemeenschappelijk gebruik: optellen, breuken, verhoudingen, proporties
Definitie: Eenvoudige tekeningen van concrete of echte voorwerpen (bijv. knikkers, vrachtwagens).
gemeenschappelijk gebruik: tellen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen
Definitie: Tekeningen die informatie weergeven met behulp van lijnen, vormen en kleuren.
gemeenschappelijk gebruik: getallen vergelijken, statistieken, verhoudingen, algebra
Definitie: Visueel hulpmiddel dat leerlingen helpt bij het onthouden en ordenen van informatie, en dat de relaties tussen ideeën weergeeft (bijvoorbeeld woordwebben, tabellen, Venn-diagrammen).
gemeenschappelijk gebruik: algebra, meetkunde
| Driehoeken | ||
|---|---|---|
| gelijkzijdig | – alle zijden zijn even lang – alle hoeken 60° |
 |
| gelijkbenig | – twee zijden zijn even lang – twee hoeken zijn hetzelfde |
 |
| ongelijkzijdig | – geen zijden zijn even lang – geen enkele hoek is hetzelfde |
 |
| rechts | – één hoek is 90° (rechte hoek) – de tegenoverliggende zijde van een rechte hoek is de langste zijde (hypotenusa) |
 |
| stom | – één hoek is groter dan 90° |  |
| acute | – alle hoeken zijn kleiner dan 90° |  |
Voordat ze problemen kunnen oplossen, moeten leerlingen echter eerst weten welk type visuele representatie ze moeten maken en gebruiken voor een gegeven wiskundeprobleem. Sommige leerlingen – met name hoogpresterende en begaafde leerlingen – doen dit automatisch, terwijl anderen expliciet moeten leren hoe. Dit geldt met name voor leerlingen die moeite hebben met wiskunde en leerlingen met leerproblemen op het gebied van wiskunde. Zonder expliciete, systematische instructie over het maken en gebruiken van visuele representaties, creëren deze leerlingen vaak visuele representaties die ongeorganiseerd zijn of onjuiste of onvolledige informatie bevatten. Bekijk de onderstaande voorbeelden.
Elementair voorbeeld
Mevrouw Aldridge gaf haar leerlingen uit groep 2 de opdracht om 4 + XNUMX op te tellen door stippen te tekenen.
Talia tekent het volgende:
Colby tekent het volgende: 
Merk op dat Talia het juiste antwoord geeft. Maar omdat Colby zijn stippen lukraak tekent, slaagt hij er niet in ze allemaal te tellen en komt hij tot de verkeerde oplossing.
Voorbeeld van de middelbare school
Meneer Huang vraagt zijn leerlingen om het volgende woordprobleem op te lossen:
De vlaggenmast moet vervangen worden. De school wil hem graag vervangen door een mast van dezelfde maat. Als Juan 11 meter van de voet van de mast staat, is de hellingshoek van Juans voeten tot de top van de mast 70 graden. Hoe hoog is de mast?
Vergelijk de onderstaande tekeningen van Brody en Zoe om dit probleem te illustreren. Merk op dat Brody een nauwkeurige weergave heeft gemaakt en de juiste strategie heeft toegepast. Zoe daarentegen tekende een afbeelding met gedeeltelijk correcte informatie. De 11 staat op de juiste plaats, maar de 70° niet. Door haar onnauwkeurige weergave kan Zoe niet verder en het probleem oplossen. Met een nauwkeurige weergave die door iemand anders is ontwikkeld, is de kans echter groter dat Zoe het probleem correct oplost.
Brody
Zoe
manipulaties
Sommige leerlingen zullen wiskundige vaardigheden en concepten niet kunnen begrijpen met alleen de visuele representaties die in de bovenstaande tabel staan vermeld. Zeer jonge kinderen en leerlingen die moeite hebben met wiskunde, hebben vaak verschillende soorten visuele representaties nodig, ook wel manipulatieven genoemd. Deze concrete, praktische materialen en objecten – bijvoorbeeld een telraam of munten – helpen leerlingen om het wiskundige idee dat ze proberen te leren of het probleem dat ze proberen op te lossen, weer te geven. Manipulatieven kunnen leerlingen helpen een conceptueel begrip van wiskundige onderwerpen te ontwikkelen. (In deze module wordt de term concrete objecten verwijst naar manipulatieven en de term visuele representaties (verwijst naar schematische diagrammen.)
Het is belangrijk dat de docent het verband tussen het concrete object en het abstracte concept dat wordt onderwezen expliciet maakt. Het doel is dat de leerling uiteindelijk de concepten en procedures begrijpt zonder het gebruik van hulpmiddelen. Voor middelbare scholieren die moeite hebben met wiskunde, is het belangrijk dat docenten het abstracte samen met de concrete of visuele representatie laten zien en de verbinding daartussen expliciet maken.
De overstap van concrete objecten of visuele representaties naar het gebruik van abstracte vergelijkingen kan voor sommige leerlingen lastig zijn. Een strategie die docenten kunnen gebruiken om leerlingen systematisch te helpen bij de overgang tussen concrete objecten, visuele representaties en abstracte vergelijkingen, is het Concrete-Representational-Abstract (CRA)-model.
Concreet-representatief-abstract raamwerk
Het Concrete-Representational-Abstract (CRA) raamwerk helpt leerlingen een conceptueel begrip van een wiskundig proces te krijgen, in plaats van alleen het algoritme te voltooien (bijv. 2 + 4, 2x + y = 27). Het systematisch verbinden van concrete objecten of visuele representaties met de abstracte vergelijking is een manier om het begrip van een leerling te ondersteunen. De componenten van het raamwerk zijn:
- Beton —Leerlingen interacteren met en manipuleren driedimensionale objecten, bijvoorbeeld algebrategels of andere algebramanipulatieven met representaties van variabelen en eenheden.
- representatief — Leerlingen gebruiken tweedimensionale tekeningen om problemen te verbeelden. Deze afbeeldingen kunnen door de docent of via het lesmateriaal in de klas aan hen worden gepresenteerd, of leerlingen kunnen hun eigen weergave van het probleem tekenen.
- Abstract — Studenten lossen problemen op met getallen, symbolen en woorden zonder enige concrete of representatieve hulp.
CRA is effectief op alle leeftijdsniveaus en kan leerlingen helpen bij het leren van concepten, procedures en toepassingen. Bij de implementatie van elk onderdeel dienen leerkrachten expliciete, systematische instructies te geven en het werk van de leerlingen continu te monitoren om hun begrip te toetsen, door hen vragen te stellen over hun denkwijze en zo nodig verduidelijking te geven. Concrete en representatieve activiteiten moeten het daadwerkelijke proces van het oplossen van het probleem weerspiegelen, zodat leerlingen het proces voor het oplossen van een abstracte vergelijking kunnen generaliseren. De onderstaande illustratie belicht elk van deze onderdelen.
Ter informatie
Een veelbelovende praktijk om middelbare scholieren met wiskundige problemen of beperkingen snel van het gebruik van manipulatieven en visuele representaties naar de abstracte vergelijking te laten overstappen, is de CRA-I-strategieIn deze aangepaste versie van CRA presenteert de docent de inhoud tegelijkertijd met behulp van concrete objecten, visuele representaties van de concrete objecten en de abstracte vergelijking. Studies hebben aangetoond dat dit raamwerk effectief is voor het lesgeven in algebra aan deze groep leerlingen (Strickland & Maccini, 2012; Strickland & Maccini, 2013; Strickland, 2017).
Kim Paulsen bespreekt de voordelen van manipulatieven en een aantal zaken waar je rekening mee moet houden bij het gebruik ervan (tijd: 2:35).
Kim Paulsen, EdD
Universitair hoofddocent, Speciaal Onderwijs
Vanderbilt University
Transcript: Kim Paulsen, EdD
Manipulatieven zijn een geweldige manier om kinderen te helpen conceptueel te begrijpen. Het gebruik van manipulatieven helpt leerlingen dat conceptueel echt te zien, en het klikt dan wat beter met ze. Een paar dingen die we echter moeten onthouden bij het gebruik van manipulatieven, is dat het belangrijk is om leerlingen wat vrije tijd te geven wanneer je een nieuw manipulatief gebruikt, zodat ze er gewoon mee kunnen experimenteren. We moeten specifieke regels hebben voor het gebruik van manipulatieven: dat het geen speelgoed is, maar echt leermateriaal, en hoe leerlingen ze oppakken, hoe ze ze wegleggen, wat het juiste moment is om ze te gebruiken, en ervoor zorgen dat ze geen afleiding vormen tijdens het daadwerkelijke presentatiegedeelte van de les. Een van de belangrijkste dingen is dat we niet willen dat leerlingen het algoritme of de procedures uit hun hoofd leren terwijl ze de manipulatieven gebruiken. Het gaat er echt om hen te helpen conceptueel te begrijpen. Dat betekent niet dat kinderen het automatisch conceptueel zullen begrijpen of de brug kunnen slaan tussen het gebruik van concrete hulpmiddelen en het daadwerkelijk oplossen van problemen. Sommige kinderen vinden het moeilijk om hulpmiddelen te gebruiken. Zo leren ze niet, en daarom willen we kinderen niet dwingen om hulpmiddelen te gebruiken als het niet nuttig voor ze is. We moeten dus onthouden dat hulpmiddelen één manier zijn om naar wiskundeles te kijken.
Ik denk dat sommige leraren ze niet gebruiken omdat het veel tijd en organisatie kost, en ze vinden ook dat leerlingen te afhankelijk worden van manipulatieven. Een manier om over het gebruik van manipulatieven na te denken is dat je het een paar lessen doet wanneer je een nieuw concept behandelt, en die dan weghaalt zodat leerlingen alleen nog maar het rekenwerk kunnen doen. Het is waar dat we niet met manipulatieven in onze handen door het leven kunnen gaan. En ik denk dat een van de andere redenen waarom veel scholen of leraren geen manipulatieven gebruiken, is omdat ze erg duur zijn. Het is dus erg nuttig als alle leraren op school hun middelen bundelen en een manipulatiekamer hebben waar leraren manipulatieven kunnen uitproberen, zodat het niet zo duur is. Leraren moeten weten hoe ze ze moeten gebruiken, en dat vereist veel oefening.
