Jakie oparte na dowodach praktyki matematyczne mogą stosować nauczyciele?
Strona 6: Instrukcja schematu
Jak ta praktyka się wpisuje?
Praktyki o wysokiej dźwigni
- HLP14:Nauczanie strategii poznawczych i metapoznawczych w celu wspierania uczenia się i niezależności
CCSSM: Standardy praktyki matematycznej
- MP7:Szukaj i wykorzystuj strukturę.
Inna skuteczna strategia pomocy uczniom w poprawie ich wyników w matematyce wiąże się z rozwiązywaniem problemów słownych. Dokładniej rzecz biorąc, polega ona na nauczaniu uczniów, jak identyfikować typy problemów słownych na podstawie struktury danego problemu, lub schemat. Zanim jednak poznasz tę strategię, warto zrozumieć, dlaczego wielu uczniów w ogóle ma problemy z problemami słownymi.
Trudności z zadaniami tekstowymi
Większość uczniów, zwłaszcza tych z trudnościami matematycznymi i niepełnosprawnościami, ma problemy z rozwiązywaniem zadań tekstowych. Dzieje się tak w dużej mierze dlatego, że zadania tekstowe wymagają od uczniów:
- Przeczytaj i zrozum tekst, w tym słownictwo matematyczne
- Umieć identyfikować i oddzielać istotne informacje od nieistotnych
- Przedstaw problem poprawnie
- Wybierz odpowiednią strategię rozwiązania problemu
- Wykonaj procedury obliczeniowe
- Sprawdź odpowiedź, aby upewnić się, że ma sens
(Zaadaptowano na podstawie: Stevens i Powell, 2016; Jitendra i in., 2015; Jitendra i in., 2013)
Uczniowie, którzy mają trudności z którymkolwiek z powyższych kroków, na przykład uczniowie mający problemy z matematyką, prawdopodobnie podają nieprawidłową odpowiedź.
Badania pokazują
- Uczniowie mający trudności i niepełnosprawności matematyczne mają większe trudności z rozwiązywaniem zadań tekstowych niż ich rówieśnicy.
(Stevens i Powell, 2016; Jitendra i in., 2015; Fuchs i in., 2010) - Instrukcja oparta na schematach, czyli wyraźna instrukcja dotycząca identyfikowania typów zadań tekstowych, ich prawidłowego przedstawiania i stosowania skutecznej metody rozwiązywania, okazała się skuteczna w przypadku uczniów mających trudności i niepełnosprawności matematyczne.
(Jitendra i in., 2016; Jitendra i in., 2015; Jitendra i in., 2009; Montague i Dietz, 2009; Fuchs i in., 2010) - Nauczanie uczniów rozwiązywania problemów tekstowych poprzez identyfikowanie ich typów jest skuteczniejsze niż uczenie ich wyłącznie identyfikowania słów kluczowych (np. „ogólnie”, „różnica”).
(Jitendra, Griffin, Deadline-Buchman i Szcześniak, 2007)
Struktury zadań tekstowych
Aby pomóc uczniom stać się bardziej biegłymi w rozwiązywaniu problemów tekstowych, nauczyciele mogą pomóc uczniom rozpoznać schemat problemu, który odnosi się do podstawowej struktury problemu lub typu problemu (np. dodawanie lub łączenie dwóch lub więcej zestawów, znajdowanie różnicy między dwoma zestawami). To z kolei prowadzi do powiązanej strategii rozwiązywania tego typu problemu. Istnieją dwa główne typy schematów: addytywny i multiplikatywny. Poniżej przedstawimy Ci schematy addytywne, zanim przejdziemy do opisów i przykładów schematów multiplikatywnych.
Schematy addytywne
Schematy addytywne można stosować w zadaniach dodawania i odejmowania. Te schematy są skuteczne dla uczniów od wczesnej szkoły podstawowej do gimnazjum. Poniżej znajduje się kilka przykładów schematów addytywnych stosowanych do rozwiązywania zadań tekstowych: suma, różnica i zmiana.
OPIS
- Polega na dodawaniu lub łączeniu dwóch lub więcej odrębnych zbiorów (każdy zbiór reprezentuje część), które po połączeniu tworzą całość.
- Znany także jako część-część-całość or połączyć.
- Uczniowie mogą rozwiązać każdą niewiadomą w równaniu.
- Można go stosować do różnych typów liczb (np. liczb całkowitych, ułamków, liczb dziesiętnych).
Przykłady
1 przykład:
Sam ma 2 ciasteczka. Ali ma 3 ciasteczka. Ile ciasteczek mają razem?
Równanie rozwiązania: 
2 przykład:
W klasie jest 6 uczniów, a na korytarzu jest jeszcze kilku. W sumie jest 20 uczniów. Ilu uczniów jest na korytarzu?
Równanie rozwiązania: 
OPIS
- Polega na porównywaniu i znajdowaniu różnic pomiędzy dwoma zbiorami.
- Znany także jako porównać.
- Uczniowie mogą rozwiązać każdą niewiadomą w równaniu.
- Można go stosować do różnych typów liczb (np. liczb całkowitych, ułamków, liczb dziesiętnych).
Przykłady
1 przykład:
Mały pies ma 3 plamki. Duży pies ma 7 plamek. O ile więcej plamek ma duży pies niż mały pies?
Równanie rozwiązania: 
2 przykład:
Cy ma o 3 ołówki więcej niż Brody. Cy ma 7 ołówków. Ile ołówków ma Brody?
Równanie rozwiązania: 
3 przykład:
Ava ma o 9 punktów mniej niż Giovani. Ava ma 2 punkty. Ile punktów ma Giovani?
Równanie rozwiązania: 
OPIS
- Polega na znalezieniu wzrostu lub spadku liczby elementów tego samego zbioru (tj. istnieje jeden zbiór i coś się z nim dzieje).
- Może wymagać wielokrotnych zmian w tym samym zestawie.
- zmiana schematy różnią się od całkowity oraz różnica schematy, ponieważ obejmują zmianę zestawu w czasie.
- Uczniowie mogą znaleźć dowolną liczbę w równaniu.
- Można go stosować do różnych typów liczb (np. liczb całkowitych, ułamków, liczb dziesiętnych).
Przykłady
1 przykład:
Carly ma 3 wstążki. Shay daje jej 2 wstążki. Ile wstążek ma teraz Carly?
Równanie rozwiązania: 
2 przykład:
Carly ma 3 wstążki. Dała Shay 1 wstążkę. Ile wstążek ma teraz Carly?
Równanie rozwiązania: 
3 przykład:
Misha ma 9 przyssawek. Kaheen dał jej jeszcze kilka przyssawek. Teraz ma 12 przyssawek. Ile dał jej Kaheen?
Równanie rozwiązania: 
4 przykład:
Misha ma kilka przyssawek. Kaheen dała jej 4 przyssawki. Teraz Misha ma 11 przyssawek. Ile przyssawek miała na początku Misha?
Równanie rozwiązania: 
(Zaadaptowano z Stevens & Powell, 2016; Morales, Shute & Pellegrino, 1985)
Dla Twojej informacji
Nawet jeśli zastosują ten sam schemat do rozwiązania problemu słownego, uczniowie prawdopodobnie podejdą do jego rozwiązania na wiele sposobów. Przykład tego można znaleźć poniżej.
Problem: Emma miała dziewięć dolarów. Potem zarobiła trochę więcej pieniędzy, wykonując swoje obowiązki. Teraz Emma ma 12 dolarów. Ile pieniędzy zarobiła?
Dwóch studentów, A i B, stworzyło problem, korzystając z zmiana schemat.
Jednak Student A rozwiązuje problem odejmując 12 – 9. Student B rozwiązuje problem licząc od 9. Chociaż jeden student dodaje, a drugi odejmuje, obaj studenci dochodzą do poprawnego rozwiązania. Ten przykład ilustruje, że operacja jest drugorzędna w stosunku do struktury problemu słownego.
Schematy mnożenia
Schematy mnożenia można stosować do rozwiązywania problemów mnożenia i dzielenia. Istnieją trzy główne typy schematów mnożenia: równość, porównanie i stosunek/proporcja.
OPIS
- Polega na mnożeniu lub dzieleniu grup, w których liczba członków jest równa liczbie osób w każdej grupie.
- Uczniowie mogą rozwiązać każdą niewiadomą w równaniu.
- Można go stosować do różnych typów liczb (np. liczb całkowitych, ułamków, liczb dziesiętnych).
- Uczniowie często spotykają się z tego typu problemami tekstowymi na standaryzowanych testach w klasach 3 i 4 oraz w szkole średniej.
Przykłady
1 przykład:
Tara ma 6 toreb pomarańczy. W każdej torbie są 4 pomarańcze. Ile pomarańczy ma Tara?
Równanie rozwiązania: 
2 przykład:
Matthew ma 20 komiksów. Jego regał ma 5 półek. Chce umieścić taką samą liczbę komiksów na każdej półce. Ile komiksów umieści na każdej półce?
Równanie rozwiązania: 
OPIS
- Polega na pomnożeniu zbioru przez zadaną liczbę razy.
- Uczniowie mogą rozwiązać każdą niewiadomą w równaniu.
- Można go stosować do różnych typów liczb (np. liczb całkowitych, ułamków, liczb dziesiętnych).
- Uczniowie często spotykają się z tego typu problemami tekstowymi na standaryzowanych testach w klasach 4 i 5 oraz w szkole średniej.
Przykłady
1 przykład:
Tara ma 6 torebek pomarańczy. Mai ma 6 cukierków. Kyla ma 2 razy więcej cukierków. Ile cukierków ma Kyla?
Równanie rozwiązania: 
2 przykład:
Pedro ma 7 gier wideo. Bronwynn ma 21 gier wideo. Ile razy więcej gier wideo ma Bronwynn niż Pedro?
Równanie rozwiązania: 
OPIS
- Polega na znalezieniu związku pomiędzy dwiema liczbami.
- Uczniowie mogą rozwiązać każdą niewiadomą w równaniu.
- Można go stosować do różnych typów liczb (np. liczb całkowitych, ułamków, liczb dziesiętnych).
- Uczniowie często spotykają się z tego typu zadaniami tekstowymi na standaryzowanych testach w starszych klasach szkoły podstawowej i gimnazjum.
Przykład: W sobotę Naoki pracowała w upale przez 10 godzin, pomagając w sprzątaniu i rewitalizacji parku w okolicy. Aby zapobiec odwodnieniu, robiła 5-minutową przerwę na wodę co godzinę. Jaką część czasu Naoki spędziła pracując w porównaniu z przerwami?
Uwaga: Aby rozwiązać ten problem, uczeń najpierw przeliczył godziny na minuty, aby móc pracować w tej samej jednostce.
Uwaga: Uczeń ustala, że stosunek czasu pracy do przerw wynosi 12 minut pracy do 1 minuty przerwy.
Źródło: Jitendra, Star, Dupuis i Rodriguez, 2013
Schematy łączone
W miarę postępów w szkole uczniowie będą napotykać nowe rodzaje problemów matematycznych z nowymi strukturami bazowymi lub schematami. Będą również napotykać wieloetapowe problemy matematyczne. Poniższy przykład ilustruje problem zmiany procentowej, który obejmuje połączenie dwóch schematów: mnożny oraz dodatek.
Uwaga: Po tym, jak uczeń znajdzie brakującą wartość w powyższym równaniu, wprowadza ją wraz z podanymi informacjami do równania poniżej, aby rozwiązać zadanie.
Przykład: Mark jest zainteresowany kupnem samochodu. Samochód kosztuje 3,200 dolarów. Otrzyma 10% zniżki, jeśli kupi samochód w ten weekend. Ile zapłaci za samochód?
Równanie rozwiązania (określające wielkość zmiany):
Po tym, jak uczeń znajdzie „resztę” wynoszącą 320 dolarów, utworzy kolejne równanie, aby znaleźć „nową sumę”.
Równanie rozwiązania (w celu określenia „nowej sumy”):
Uczeń ustala, że po zastosowaniu 10% zniżki Marek zapłaci 2,880 dolarów.
Sarah Powell, która przeprowadziła obszerne badania dotyczące instrukcji schematycznych, omawia podstawowe założenia tej strategii (czas: 2:40).
Sarah Powell, doktor
Adiunkt, Edukacja Specjalna
University of Texas w Austin
Transkrypcja: Sarah Powell, PhD
Problem ze schematami polega na tym, że nie można definiować problemów słownych przez ich działanie. Nie można więc opisać problemu słownego jako problemu odejmowania lub problemu dzielenia. Zamiast tego należy opisać problem słowny na głębszym poziomie, a to oznacza opisanie problemu słownego przez jego schemat. I czasami lubię używać słowa . Bardzo ważne jest stosowanie schematów lub struktur, aby uczniowie mieli spójność w rozwiązywaniu problemów. Jeśli uczymy struktury problemów łączonych w 1. i 2. klasie, uczniowie nadal widzą ten schemat w 3., 4. i 5. klasie. Teraz liczby mogą się zwiększyć. Więc zamiast dodawać trzy plus dziewięć, mogą dodawać 133 plus 239. Ale struktura jest taka sama. I tak jedną z rzeczy, które próbujemy zrobić za pomocą naszych standardów matematycznych, które kierują większością nauczania w Stanach Zjednoczonych, jest zapewnienie spójności w nauce matematyki na różnych poziomach klas, a schematy naprawdę w tym pomagają, więc widzisz tę łączoną strukturę raz po raz.
Teraz w klasach szkoły średniej widzisz to w nieco inny sposób. Może to być część wieloetapowego problemu, ale nadal tam jest, więc nie musimy co roku uczyć rozwiązywania problemów od nowa. Po prostu pomagamy uczniom powiedzieć: „O, teraz patrzymy na schemat całkowity, ale z ułamkami. A oto schemat całkowity, ale z liczbami dziesiętnymi”. I tak jest wiele spójności, która jest zapewniona dzięki schematom. A teraz rozwiązywanie problemów jest naprawdę nauczane klasa po klasie. Więc jak rozwiązywać zadania tekstowe z 2 klasy lub jak rozwiązywać zadania tekstowe z 5 klasy? I to nie jest dobry sposób myślenia o tym. Lepiej skupić się na schemacie i pomyśleć o tym kontinuum rozwiązywania problemów na poziomie klasy. I po prostu sprawiliby, że rozwiązywanie problemów byłoby o wiele łatwiejsze dla uczniów, a także dla nauczycieli, ponieważ wtedy nie wracaliby do punktu wyjścia co roku i nie zaczynaliby od tego, jak uczyć rozwiązywania problemów w 5 klasie?
Twierdziłbym, że rozwiązywanie problemów jest najważniejszą rzeczą, której trzeba nauczać, ponieważ gdy patrzymy na oceny o wysokiej stawce — a to właśnie tam uczniowie wykazują się kompetencjami matematycznymi — w przypadku zadań tekstowych uczniowie muszą wziąć liczby i manipulować nimi. To bardzo trudne. Rozwiązywanie problemów powinno być głównym celem programu nauczania matematyki, a zamiast uczyć rozwiązywania problemów jako uzupełnienia nauczania matematyki, rozwiązywanie problemów powinno być naprawdę nauczane jako sposób, w jaki uczymy się matematyki. I musimy sprawić, aby uczniowie stali się myślicielami matematyki, a nie tylko jej wykonawcami.
Nauczanie struktur zadań tekstowych
Podobnie jak w przypadku nauczania jakiejkolwiek strategii, nauczyciele powinni stosować jasne, systematyczne instrukcje podczas wprowadzania instrukcja schematu, czasami określane jako instrukcja oparta na schemacie (SBI). Chociaż ten sam proces jest stosowany do nauczania dowolnego schematu, w celach ilustracyjnych kroki dotyczące sposobu nauczania połączyć Schematy przedstawiono w ramce poniżej.
| Krok 1: Naucz uczniów, jak identyfikować różne typy problemów (np. łączenie) i przećwiczyć przekształcanie informacji w diagram lub równanie. | |
| opisy | Przykład |
|
Zacznij od jednego typu problemu lub schematu (np. łączenie).  Zacznij od historii, które zawierają wszystkie informacje (czyli nie zawierają niewiadomych). Pokaż uczniom, w jaki sposób informacje dotyczące każdego typu problemu można przedstawić w formie diagramu (reprezentacji wizualnej) lub równania. |
Naucz uczniów, jak identyfikować problemy łączone. LaTisha ma 5 komiksów. Riley ma 3 kolejne komiksy. Mają łącznie 8 komiksów.   |
| Krok 2: Naucz uczniów, jak rozwiązać zadanie tekstowe z nieznaną liczbą. | |
| opisy | Przykład |
|
Naucz uczniów, jak wykonywać następujące kroki:
Jedną z metod wykonania tego zadania jest użycie następującego mnemonika:
|
Calla ma 4 babeczki. Jaden ma 6 babeczek. Ile babeczek mają razem? Zidentyfikuj typ problemu: połącz Przetłumacz na równanie:  Rozwiąż problem:  |
| Krok 3: Zachęcaj uczniów do dyskusji | |
| opisy | Przykład |
|
W trakcie całego procesu rozwiązywania problemu nauczyciel powinien prosić uczniów o omówienie, w jaki sposób rozwiązali dany problem. |
Nauczyciel: „Jayla, wyjaśnij, skąd wiedziałaś, że to ten typ problemu” łączyć". |
(Zaadaptowano z Stevens & Powell, 2016)
Nauczyciele powinni upewnić się, że uczniowie opanowali jeden schemat (np. połączyć) przed wprowadzeniem innego typu problemu (np. porównać). Zmniejsza to prawdopodobieństwo, że uczniowie pomylą jeden typ schematu z innym w trakcie procesu uczenia się.
