¿Qué prácticas basadas en evidencia de instrucción de matemáticas pueden emplear los maestros?
Página 6: Instrucción esquemática
¿Cómo se alinea esta práctica?
Prácticas de alto rendimiento
- HLP14: Enseñar estrategias cognitivas y meta-cognitivas para apoyar el aprendizaje y la independencia
Estándares Comunes Estatales de Matemáticas (CCSSM): Estándares para la práctica de matemática
- MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.
Otra estrategia efectiva para ayudar a los estudiantes a mejorar su rendimiento en matemáticas está relacionado a la resolución de problemas verbales. De forma más específica, supone enseñarle a los estudiantes a identificar tipos de problemas verbales basados en la estructura subyacente de determinado problema, o esquema. Antes de aprender sobre esta estrategia, sin embargo, sería útil entender por qué muchos estudiantes tienen dificultades con los problemas verbales en un principio.
Dificultad con los problemas verbales
Muchos estudiantes, especialmente aquellos que tienen dificultades y discapacidades en matemáticas, tienen dificultades resolviendo problemas verbales. Esto se debe en gran medida a que los problemas verbales requieren que los estudiantes:
- Lean y entiendan el texto, incluyendo el vocabulario de matemáticas
- Sean capaces de identificar y separar información relevante de información irrelevante
- Representen el problema correctamente
- Escojan una estrategia apropiada para solucionar el problema
- Lleven a cabo los procedimientos de cálculo
- Revisen la respuesta para verificar que tiene sentido
(Adapted from Stevens and Powell, 2016; Jitendra, et al., 2015; Jitendra et al., 2013)
Los estudiantes que tienen dificultades con cualquiera de estos pasos enumerados antes, como los estudiantes que tienen dificultades con las matemáticas, tienen mayor probabilidad de sacar una respuesta incorrecta.
La investigación indica
- A los estudiantes con dificultades y discapacidades en matemáticas se les hace más difícil resolver problemas verbales que a sus compañeros.
(Stevens & Powell, 2016; Jitendra et al., 2015; Fuchs et al., 2010) - La instrucción esquemática—instrucción explícita de identificación de tipos de problemas verbales, representándolos de forma correcta, y usando un método efectivo para resolverlos—ha sido comprobado como un estrategia efectiva entre los estudiantes con dificultades en matemáticas y discapacidades.
(Jitendra et al., 2016; Jitendra et al., 2015; Jitendra et al., 2009; Montague & Dietz, 2009; Fuchs et al., 2010) - Enseñarle a los estudiantes cómo solucionar problemas verbales por medio de la identificación del tipo de problema verbal es más efectivo que enseñarles solamente cómo identificar las palabras claves (p. ej., “en total”, “diferencia”).
(Jitendra, Griffin, Deatline-Buchman, & Sczesniak, 2007)
Estructuras de problemas verbales
Para ayudar a los estudiantes a ser más competentes en la resolución de problemas verbales, los maestros pueden ayudar a los estudiantes a reconocer el esquema del problema, es decir, la estructura subyacente del problema o del tipo de problema (p. ej., sumar o combinar dos o más grupos, encontrar la diferencia entre dos grupos). Esto, en cambio, lleva a una estrategia de asociación para la resolución de ese tipo de problema. Existen dos tipos de esquemas principales: aditivo y multiplicativo. A continuación, vamos a presentar esquemas aditivos antes de entrar en descripciones y ejemplos de esquemas multiplicativos.
Esquemas aditivos
Los esquemas aditivos se pueden usar para los problemas de suma y resta. Estos esquemas son efectivos para los estudiantes desde la escuela primaria hasta la escuela intermedia. A continuación hay varios ejemplos de esquemas aditivos usados para solucionar problemas verbales: total, diferencia y cambio.
Descripción
- Supone sumar o combinar dos o más grupos (cada grupo representa una parte) que se unen para formar un total.
- También se conoce como parte-parte-todo o combinado.
- Los estudiantes pueden resolver el problema con cualquiera de los desconocidos en la ecuación.
- Se puede usar con una variedad de tipos de números (p. ej., enteros, fracciones, decimales).
Ejemplos
Ejemplo 1:
Sam tiene dos galletas. Ali tiene 3 galletas. ¿Cuántas galletas tienen en total?
Ecuación de la solución: 
Ejemplo 2:
Hay 6 estudiantes en el salón de clases y algunos estudiantes más en el pasillo. Hay 20 estudiantes en total. ¿Cuántos estudiantes están en el pasillo ?
Ecuación de la solución: 
Descripción
- Supone comparar y encontrar la diferencia entre dos grupos.
- También se conoce como comparar.
- Los estudiantes podrían resolver el problema con cualquiera de los desconocidos en la ecuación.
- Se puede usar con una variedad de tipos de números (p. ej., enteros, fracciones, decimales).
Ejemplos
Ejemplo 1:
El perro pequeño tiene 3 puntos. El perro grande tiene 7 puntos. ¿Cuántos puntos más tiene el perro grande que el perro pequeño ?
Ecuación de la solución: 
Ejemplo 2:
Cy tiene 3 lápices más que Brody. Cy tiene 7 lápices. ¿Cuántos lápices tiene Brody?
Ecuación de la solución: 
Ejemplo 3:
Ava tiene 9 puntos menos que Giovani. Ava tiene 2 puntos. ¿Cuántos puntos tiene Giovani ?
Ecuación de la solución: 
Descripción
- Supone encontrar el aumento o la reducción en la cantidad de un mismo grupo (p.ej., hay un grupo y algo le sucede a ese grupo).
- Puede suponer múltiples cambios al mismo grupo.
- Esquemas de cambio difieren de los esquemas del total y de la diferencia en la medida en que suponen un cambio en el grupo.
- Los estudiantes pueden resolver el problema con cualquier número en la ecuación.
- Se puede usar con una variedad de tipos de números (p.ej., enteros, fracciones, decimales).
Ejemplos
Ejemplo 1:
Carly tiene 3 lazos. Shay le da 2 lazos. ¿Cuántos lazos tiene Carly ahora?
Ecuación de la solución: 
Ejemplo 2:
Carly tiene 3 lazos. Le dio uno de los lazos a Shay. ¿Cuántos lazos tiene Carly ahora?
Ecuación de la solución: 
Ejemplo 3:
Misha tiene 9 paletas. Kaheen le dio varias paletas más. Ahora Misha tiene 12 paletas. ¿Cuántas paletas le dio Kaheen?
Ecuación de la solución: 
Ejemplo 4:
Misha tiene algunos paletas. Kaheen le dio 4 paletas. Ahora Misha tiene 11 paletas. ¿Cuánto paletas tenía Misha en un principio?
Ecuación de la solución: 
(Adapatado de Stevens & Powell, 2016; Morales, Shute & Pellegrino, 1985)
Para su información
Incluso cuando aplican el mismo esquema para resolver un problema verbal, es probable que los estudiantes aborden la solución de diferentes maneras. A continuación un ejemplo de esto.
Problema: Emma tenía nueve dólares. Luego ganó más dinero haciendo sus quehaceres. Ahora Emma tiene $12. ¿Cuánto dinero ganó?
Dos estudiantes, A y B, organizan el problema usando el esquema de cambio.
Sin embargo, Estudiante A soluciona el problema restando 12 – 9. Estudiante B soluciona el problema sumando desde 9. Aunque un estudiante suma y el otro resta, ambos estudiantes llegan a la solución correcta. Este ejemplo ilustra que la operación es secundaria a la estructura del problema verbal.
Esquemas multiplicativos
Los esquemas multiplicativos se pueden usar para resolver problemas de multiplicación o división. Existen tres tipos de esquemas multiplicativos principales: igual, comparación, y razón/proporción.
Descripción
- Supone multiplicar o dividir grupos en los que hay un número igual en cada grupo.
- Los estudiantes pueden resolver el problema usando cualquiera de los desconocidos en la ecuación.
- Se puede usar con una variedad de tipos de números (p. ej., enteros, fracciones, decimales).
- Los estudiantes suelen encontrarse con este tipo de problemas verbales en los exámenes estandarizados en tercer y cuarto grado, y en la escuela intermedia.
Ejemplos
Ejemplo 1:
Tara tiene 6 sacos de naranjas. Hay 4 naranjas en cada saco. ¿Cuántas naranjas tiene Tara?
Ecuación de la solución: 
Ejemplo 2:
Matthew tiene 20 revistas de historietas. Su librero tiene 5 repisas. Matthew quiere colocar la misma cantidad de revistas de historietas en cada repisa. ¿Cuántas revistas de historietas pondrá en cada repisa?
Ecuación de la solución: 
Descripción
- Supone multiplicar un grupo determinada cantidad de veces.
- Los estudiantes pueden resolver el problema con cualquiera de los desconocidos de la ecuación.
- Se puede usar con una variedad de tipos de números (p.ej., enteros, fracciones, decimales).
- Los estudiantes suelen encontrar estos tipos de problemas verbales en los exámenes estandarizados de 4to y 5to grado, y en la escuela intermedia.
Ejemplos
Ejemplo 1:
Tara tiene 6 sacos de naranjas. Mai tiene 6 trozos de dulce. Kyla tiene 2 veces más trozos de dulce. ¿Cuántos trozos de dulce tiene Kyla ?
Ecuación de la solución: 
Ejemplo 2:
Pedro tiene 7 videojuegos. Bronwynn tiene 21 videojuegos. ¿Bronwynn tiene cuántas veces la misma cantidad de videojuegos que Pedro ?
Ecuación de la solución: 
Descripción
- Supone encontrar la relación entre dos números.
- Los estudiantes pueden encontrar la solución usando cualquiera de los desconocidos de la ecuación.
- Se puede usar con una variedad de números (p. ej., enteros, fracciones, decimales).
- Los estudiantes suelen encontrar este tipos de problemas verbales en los exámenes estandarizados de 4to y 5to grado, y en la escuela intermedia.
Ejemplo: El sábado, Naoki trabajó bajo el sol durante 10 horas ayudando a limpiar y a revitalizar el parque del vecindario. Para evitar deshidratarse, Naoki tomó descansos de 5 minutos para tomar agua cada hora. ¿Qué proporción de tiempo pasó Naoki trabajando en comparación con los descansos que tomó?
Nota: Para resolver este problema, el estudiante debe primero convertir las horas a minutos para que pueda trabajar con la misma unidad.
Note: El estudiante determina que la razón del trabajo y de tomar descansos es de 12 minutos de trabajo a 1 minuto de descanso.
Fuente: Jitendra, Star, Dupuis, & Rodriguez, 2013
Esquemas combinados
A medida que los estudiantes avanzan en la escuela, encontrarán nuevos tipos de problemas matemáticos con nuevas estructuras subyacentes, o esquemas. También encontrarán problemas matemáticos de múltiples pasos. El ejemplo a continuación ilustra un problema con cambio de porcentaje que supone la combinación de dos esquemas: uno multiplicativo y uno aditivo.
Nota: Después de que el estudiante resuelva el valor que falta en la ecuación de arriba, el estudiante lo incluye junto a la información proporcionada en la ecuación de abajo para resolver el problema.
Ejemplo: Mark está interesado en comprar un carro. El carro cuesta $3,200. Él recibirá un descuento de 10% si compra un carro este fin de semana. ¿Cuánto pagará por el carro?
Ecuación de la solución (para determinar la suma del cambio):
Después de que el estudiante resuelva el valor del “cambio”, que es $320, proseguirá a crear otra ecuación de solución para determinar el “nuevo total.”
Ecuación de la solución (para determinar el “nuevo total”):
El estudiante determina que con el 10% de descuento Mark pagará $2,880.
Sarah Powell, que ha investigado extensamente sobre la instrucción esquemática, habla del enfoque subyacente de esta estrategia (tiempo: 2:40).
Sarah Powell, PhD
Profesora Asistente, Educación Especial
Universidad de Texas en Austin
Transcripción: Sarah Powell, PhD
El asunto de los esquemas es que no puedes definir problemas verbales según su operación. Así que no puedes describir un problema verbal como un problema de resta o un problema de división. En vez, tienes que describir el problema verbal de manera más profunda y que describa el problema verbal según su esquema. Y a veces me gusta usar la palabra estructura. Es muy importante usar esquemas o estructuras para que los estudiantes sean consistentes al resolver problemas. Si enseñamos la estructura de problemas combinados en 1er y 2do grado, los estudiantes siguen viendo el esquema en 3er, 4to y 5to grado. Es posible que ahora los números sean mayores. Por lo tanto, en vez de sumar tres más nueve, es posible que estén sumando 133 más 239. Pero la estructura sigue siendo la misma. Así que una de las cosas que estamos tratando de hacer con nuestros estándares de matemáticas que orientan gran parte de la instrucción en Estados Unidos es proveer consistencia en el aprendizaje de matemáticas en todos los grados, y los esquemas pueden ayudar a hacer eso, de esa forma ves la estructura combinada una y otra vez.
Ahora bien, en las escuelas intermedias se ve ligeramente diferente. Es posible que sea parte de un problema de múltiples pasos, pero todavía está ahí, así que no tenemos que re-enseñar la solución de problemas todos los años. Simplemente ayudamos a los estudiantes a decir, “Vaya, ahora estamos observando un esquema total con fracciones. Ahora este es un esquema total con decimales”. Así que estos esquemas proveen mucha consistencia. Y ahora mismo la resolución de problemas se enseña en cada grado. Entonces decir, ¿cómo soluciono problemas verbales de 2ndo o 5to grado? No es una buena forma de acercarse al asunto. Es mejor si nos enfocamos en el esquema y lo vemos como un continuo para resolver problemas por grados. De esta forma facilitarían tanto la resolución de problemas para los estudiantes y para los maestros también, así no tienen que volver a empezar desde cero cada año y empezar con cómo enseño resolución de problema en 5to grado?
Yo argumentaría que la resolución de problemas es lo más importante que tienes que enseñar, porque cuando consideramos evaluaciones de alto rango—y es ahí que los estudiantes muestran su competencia en matemáticas—para los problemas verbales, los estudiantes tienen que tomar los números y manipularlos. Es muy difícil. La resolución de problemas debe ser el enfoque principal del currículo de matemáticas, y en vez de enseñar la resolución de problemas como algo suplementario a la instrucción de matemáticas, la resolución de problemas debería enseñarse como la forma en que aprendemos matemáticas. Y tenemos que conseguir que nuestros estudiantes sean pensadores de matemáticas, no solo hacedores de matemáticas.
Enseñar estructuras de problemas verbales
Al igual que cuando se enseña cualquier estrategia, los maestros deben usar instrucción explícita, sistemática cuando estén introduciendo instrucción de esquema, a veces también se denomina instrucción basada en esquema (SBI, por sus siglas en inglés). Aunque el mismo proceso se usa para enseñar cualquier esquema, con el propósito de ilustrar, los pasos de cómo enseñar el esquema combinar se encuentran en el apartado a continuación.
| Paso 1: Enseñar a los estudiantes a identificar diferentes tipos de problemas (p. ej., combinado) y a traducir la información a un diagrama o ecuación. | |
| Descripciones | Ejemplo |
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Empezar con un tipo de problema o esquema (p. ej., combinado).  Empezar con cuentos que contienen toda la información (es decir, sin cantidades desconocidas). Enseñarle a los estudiantes a traducir la información de cada tipo de problema a un diagrama (representación visual) o ecuación. |
LaTisha tiene 5 libros de historietas. Riley tiene 3 libros de historietas más. Los dos tienen un total de 8 libros de historietas. Enseñarle a los estudiantes a traducir la información de cada tipo de problema a un diagrama (representación visual) o ecuación.  |
| Paso 2: Enseñarle a los estudiantes a resolver problemas verbales con una cantidad desconocida. | |
| Descripciones | Ejemplo |
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Enseñarle a los estudiantes a usar los siguientes pasos:
Una forma de hacer esto es usando la siguiente nemotecnia:
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Calla tiene 4 magdalenas. Jaden tiene 6 magdalenas. ¿Cuántas magdalenas tienen en total? Identificar el tipo de problema: combinado Traducir a una ecuación::  Solucionar el problema::  |
| Paso 3: Alentar la discusión estudiantil | |
| Descripciones | Ejemplo |
|
A lo largo del proceso de resolución de problema, el maestro debe preguntarle a los estudiantes cómo resolvieron el problema. |
Maestro: “Jayla, explícame cómo supiste que este problema era combinado”. |
(Adapatado de Stevens & Powell, 2016)
Los maestros deben asegurarse de que los estudiantes dominan un esquema (p. ej. combinado) antes de introducir otro tipo de problema (p.ej., comparado). Esto reduce la probabilidad de que los estudiantes confundan un tipo de esquema con otro durante el proceso de aprendizaje.
